双曲线的标准方程及图象
共1422题

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题型：单选题

单选题

设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点A是以F1为圆心，b为半径的圆与双曲线的一个交点，且AF2与圆相切，则该双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：由题意可得A在双曲线的左支上，AF1⊥AF2，

且AF1=b，AF2=2a+b，F1F2=2c，

由勾股定理可得，b2+（2a+b）2=4c2，

由c2=a2+b2，化简可得b=2a，

c==a，

即有e==．

故选：D．

题型：填空题

填空题

过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：设椭圆的焦点为（c，0），

则令x=c，则y=，弦长为=，

则有a=2b，

即有双曲线的离心率为e===．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

设点P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上任意一点，过点P的直线与两渐近线分别交于P1，P2，设λ=，求证：=ab．

正确答案

证明：设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则y1=x1，y2=-x2，∵λ=，

∴x=，y===•，

由点P（x，y）在双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，

∴-=1，

化简得：x1x2=，

又|OP1|==|x1|，同理可得|OP2|=|x2|，

∴|OP1|•|OP2|=|x1|•|x1|=•=．

设直线OP1与OP2所成的夹角为2θ，∵tanθ=，

∴tan2θ===，

∴sin2θ==，

∴=•|OP1|•|OP2|sin2θ=•=ab．

解析

证明：设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则y1=x1，y2=-x2，∵λ=，

∴x=，y===•，

由点P（x，y）在双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，

∴-=1，

化简得：x1x2=，

又|OP1|==|x1|，同理可得|OP2|=|x2|，

∴|OP1|•|OP2|=|x1|•|x1|=•=．

设直线OP1与OP2所成的夹角为2θ，∵tanθ=，

∴tan2θ===，

∴sin2θ==，

∴=•|OP1|•|OP2|sin2θ=•=ab．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．

正确答案

解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），

∵双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，

∴4+b2=9，∴b2=5

∴双曲线的渐近线方程为y=，即

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．

解析

解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），

∵双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，

∴4+b2=9，∴b2=5

∴双曲线的渐近线方程为y=，即

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．

题型：单选题

单选题

双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线X+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为

y=x，

由于一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，

则有=2，即有b=2a，

c==a，

则离心率为e==．

故选C．

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