双曲线的标准方程及图象
共1422题

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双曲线的标准方程及图象
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题型：单选题

单选题

已知双曲线的x2-y2=a2左右顶点分别为A，B，双曲线在第一象限的图象上有一点P，∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，则（　　）

Atanαtanβ+1=0

Btanαtanγ+1=0

Ctanβtanγ+1=0

Dtanαtanβ-1=0

正确答案

解析

解：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），

kPA=tanα=，①

kPB=-tanβ=，②

由x2-y2=a2得=1，

①×②，得-tanαtanβ=1，

故选A．

题型：单选题

单选题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（　　）

正确答案

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，

渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，

∴F1（-c，0）F2（c，0）P（x，y），

渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=-x，

∵l2∥PF2，∴，即ay=bc-bx，

∵点P在l1上即ay=bx，

∴bx=bc-bx即x=，∴P（，），

∵l2⊥PF1，

∴，即3a2=b2，

∵a2+b2=c2，

∴4a2=c2，即c=2a，

∴离心率e==2．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．

正确答案

解：设此双曲线的方程为y2-3x2=k（k≠0），

当k＞0时，a2=k，b2=，c2=k，此时焦点为（0，±），

由题意得：3=，解得k=27，双曲线的方程为y2-3x2=27；

当k＜0时，a2=-，b2=-k，c2=-k，此时焦点为（±，0），

由题意得：3=，解得k=-9，双曲线的方程为y2-3x2=-9，即3x2-y2=9．

∴所求的双曲线方程为为y2-3x2=27或3x2-y2=9．

解析

解：设此双曲线的方程为y2-3x2=k（k≠0），

当k＞0时，a2=k，b2=，c2=k，此时焦点为（0，±），

由题意得：3=，解得k=27，双曲线的方程为y2-3x2=27；

当k＜0时，a2=-，b2=-k，c2=-k，此时焦点为（±，0），

由题意得：3=，解得k=-9，双曲线的方程为y2-3x2=-9，即3x2-y2=9．

∴所求的双曲线方程为为y2-3x2=27或3x2-y2=9．

题型：单选题

单选题

已知双曲线C：x2-=1，直线l：y=mx-m+（m∈R），直线l与双曲线C有且只有一个公共点，则m的所有取值个数是（　　）

正确答案

解析

解：直线l：y=mx-m+（m∈R），即为

m（x-1）=y-，恒过定点P（1，），

双曲线的渐近线方程为y=x，

则P在渐近线y=x上，

则过P作与渐近线y=-x平行的直线，与双曲线只有一个交点；

过P作与x轴垂直的直线与双曲线只有一个交点，但m不存在．

则m的所有取值个数为1．

故选A．

题型：单选题

单选题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作与实轴垂直的直线，交两渐近线于M、N两点，F为该双曲线的右焦点，若△FMN的内切圆恰好是x2+y2=a2，则该双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，

x=-a时，可得M（-a，b），N（-a，-b），

∵F为该双曲线的右焦点，若△FMN的内切圆恰好是x2+y2=a2，

∴=，

∴e3-3e-2=0，

∴e=2．

故选：D．

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