双曲线的标准方程及图象
共1422题

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双曲线的标准方程及图象
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题型：填空题

填空题

已知抛物线C：y2=2px与双曲线-y2=1的右焦点重合，则抛物线C上的动点M到直线l1：4x-3y+6=0和l2：x=-2距离之和的最小值为______．

正确答案

解析

解：因为抛物线C：y2=2px与双曲线-y2=1的右焦点重合，

所以p=4，x=-2是抛物线准线，

作MA⊥l1，MB⊥l2，由抛物线定义MB=MF，

当M，A，F三点共线时，距离之和的最小，其值是F到l1距离，

由点到直线距离可得，其距离为．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线为y=±2x，则此双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：设双曲线的方程为=1，（a，b＞0），

则渐近线方程为y=x，

即有2=，则b=2a，

c==a，

则e==．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若原点到直线-=1的距离为，求曲线的方程式．

正确答案

解：（1）由已知条件；

∴；

∴，；

∴；

∴双曲线的渐近线方程为：；

（2）由（1）知，a=；

∴直线变成；

∴；

∴b=1，；

∴曲线方程为：．

解析

解：（1）由已知条件；

∴；

∴，；

∴；

∴双曲线的渐近线方程为：；

（2）由（1）知，a=；

∴直线变成；

∴；

∴b=1，；

∴曲线方程为：．

题型：填空题

填空题

双曲线的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的两条渐近线的夹角为 ______．

正确答案

60°

解析

解：根据双曲线方程可知其渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±

∴准线被它的两条渐近线截得线段的长度等为2••=

焦点坐标为（c，0），则焦点到渐近线方程的距离为=b

∴b=，整理得2a=c

∴b==a

∴渐近线方程为y=±x

∴渐近线倾斜角为60°和120°

∴两条渐近线的夹角为60°

故答案为：60°

题型：填空题

填空题

已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点到双曲线C1渐近线的距离为2，则C2的方程为______．

正确答案

y2=x

解析

解：双曲线C1：=1的渐近线方程为y=x，

抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点F为（，0），

则F到渐近线的距离为d==2，

由双曲线的离心率为2，即e==2，

b==a，

则有=2，

解得p=，

则有抛物线的方程为y2=x．

故答案为：y2=x．

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下一知识点 : 双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

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