二次函数与幂函数
共2034题

二次函数与幂函数
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题型：简答题

简答题 · 12 分

设函数。

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程。

正确答案

见解析。

解析

（1）

则的最小正周期，

且当时单调递增。

即为的单调递增区间（写成开区间不

扣分）。

（2）当时，

当，即时。

所以，

为的对称轴。

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，，且E,F,G分别是线段PA.PD.CD的中点。

（1）求证：PB平面EFG

（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的长，若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

解析：（1）证：设连结OF，则四点共面，

平面

（2）由题意易得两两垂直，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，假设在线段上，存在一点满足题意，则点的坐标可设为，设平面的法向量为则有即

，取则，即

，

又即在线段CD上存在一点Q满足题意，且CQ的长为

知识点

二次函数的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

有下列命题：

①若存在导函数，则；

②若函数，则；

③若函数，则；

④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件。

其中真命题的序号是（）。

正确答案

③

解析

，①错误；

，则，②错；

，③正确；

，，只需即可，是的充分不必要条件。

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

设函数。

（1）当时，求函数的最小值；

（2）证明：对x1，x2∈R+，都有；

（3）若，证明：。

正确答案

见解析

解析

（1）时，，()，

则。

令，得。

当时，，在是减函数，

当时，，在是增函数，

所以在时取得最小值，即。 ……………………4分

（2）因为，

所以。

所以当时，函数有最小值。

x1，x2∈R+，不妨设，则

。 ……………………8分

（3）（证法一）数学归纳法

ⅰ)当时，由（2）知命题成立。

ⅱ）假设当( k∈N*)时命题成立，

即若，则。

当时，

，，…，，满足。

设，

由（2）得[来

=。

由假设可得，命题成立。

所以当时命题成立。

由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，

所以若，则，………………13分

（证法二）若，

那么由（2）可得

。

……………………13分

知识点

二次函数的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知，若，则

正确答案

解析

略

知识点

二次函数的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品，用户先对产品进行随机抽检以决定是否接收，抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品（抽检后不放回），只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接收这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是　　　　　。

正确答案

2.7

解析

略

知识点

二次函数的应用

题型：单选题

单选题 · 4 分

已知，且，则的值为　　　　　　　　　（　）

正确答案

解析

略

知识点

二次函数的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占，而且三好学生中女生占一半，现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为

正确答案

解析

略

知识点

二次函数的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数在区间上的零点个数是（）

正确答案

解析

略

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数，其中为常数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程;

（2）求函数的单调区间.

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时，

当时，，所以曲线在点处的切线方程，

即 ………………4分

（2）的定义域为，则 ……………………………5分

………………………7分

1）当时，，，则或

，，则

故的增区间为，减区间为 ………10分

2）当时，，，则

，，则或

故的增区间为，减区间为 …………13分

知识点

二次函数的应用

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