二次函数与幂函数
共2034题

二次函数与幂函数
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题型：简答题

简答题 · 10 分

已经矩阵M＝。

（1）求直线4x－10y＝1在M作用下的方程；

（2）求M的特征值与特征向量。

正确答案

见解析

解析

（1）因为M＝，设直线上任意一点在作用下对应点，则＝，

即，所以，代入，得，即，

所以所求曲线的方程为，

（2）矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，

所以M的特征值为λ1＝4，λ2＝5。

当λ1＝4时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝；

当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知函数，，求的最大值.

正确答案

见解析

解析

证明：由得，

令，则，

当时，，在上为增函数；

当x＞0时，，在上为减函数，

所以在x=0处取得极大值，且，

故（当且仅当时取等号），

所以函数为上的减函数，

则，即的最大值为0

知识点

二次函数的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数），以为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为则圆C截直线l所得的弦长为。

正确答案

解析

圆C方程为，直线方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为

知识点

二次函数的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知抛物线的极坐标方程为，若斜率为的直线经过抛物线的焦点，与圆相切，则。

正确答案

解析

将化为普通方程即，得

知识点

二次函数的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

定义：{x，y}为实数x，y中较小的数。已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是。

正确答案

解析

易得，所以（当且仅当时取等号）；

知识点

二次函数的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖，已知硬币的直径为，若游客获奖的概率不超过，则方格边长最长为(单位：)

正确答案

解析

设方格边长为，则

知识点

二次函数的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

在△ABC中，若，则。

正确答案

；

解析

设，则，，且，利用可

求得，所以；

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 10 分

设均为正实数，求证：

正确答案

见解析

解析

因为，所以，当且仅当时等号成立；

，当且仅当时等号成立；

三个不等式相加得，

当且仅当时等号成立。

知识点

二次函数的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

定义在R上的函数满足,且当时,,则的值为（）

正确答案

解析

∵定义在R上的函数f（x）满足f(0)＝0,f(x)+f(1−x)＝1,

.,且当0≤x1＜x2≤1时,有f（x1）≤f（x2）,

,又

,故选B.

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

设数列的前n项和为,,且对任意正整数n,点在直线上.

（1）求数列的通项公式；

（2）若,求数列的前n项和.

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）因为点在直线上,所以（1分）

当时, （2分）

两式相减得,即（3分）

又当时, （4分）

所以数列是首项,公比的等比数列,其通项公式为（6分）

（2）由（1）知,, （7分）

记数列的前n项和为,则（8分）

（9分）

两式相减得（11分）

所以数列的前n项和为（12分）

知识点

二次函数的应用

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