二次函数与幂函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为点D，K，E，

（1）已知抛物线的焦点为椭圆C的上顶点。

①求椭圆C的方程；

②若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求的值；

（2）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由.

正确答案

见解析

解析

解析：（1）易知，

…………………3分

设

…………………………5分

又由

同理

……………………………………8分

（2）,先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且

猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点 ……………………9分

证明：设

当m变化时首先AE过定点N

A、N、E三点共线，

同理可得B、N、D三点共线

∴AE与BD相交于定点 ……………………13分

知识点

二次函数的应用

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 记.

（1）求函数的值域；

（2）设的角所对的边分别为，若，且，，求.

正确答案

（1）（2）1

解析

解析：

（1）由题意，得， ………………3分

所以， ………………5分

因为，所以，故. ………7分

（2）因为，

，所以， ………………9分

在中，由余弦定理得，

即，解得. ……………13分

知识点

二次函数的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数的最小正周期为。

（1）求的值及函数的最大值和最小值；

（2）求函数的单调递增区间。

正确答案

见解析

解析

解析：

（1）

。

因为，，所以。

因为，，

所以。

所以函数的最大值为1，最小值为-1。 ……………………8分

（2）令，

得，

所以。

所以函数的单调递增区间为，，……………………13分

知识点

二次函数的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数

（1）若求的值；

（2）求函数的单调区间。

正确答案

见解析。

解析

（1）

由可得所以.

（2）当

即时，单调递增。

所以，函数的单调增区间是

知识点

二次函数的应用

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

函数若不等式f（x）≥6的解集为（—∞，-2][4，+∞），则实数a的值为。

正确答案

3

解析

解析：不等式f（x）≥6的解集为（—∞，-2][4，+∞）

时，=6都成立，

将代入，得或，

故答案为：3

知识点

二次函数的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

构造如题（22）图所示的数表，规则如下：先排两个l作为第一层，然后在每一层的相邻两个数之间插入这两个数和的a倍得下一层，其中a∈（），设第n层中有an个数，这an个数的和为。

（1）求an；

（2）证明：

正确答案

见解析。

解析

（1），则得

（2）先求，同（1），，

令，则，

下证为单调增数列：只需证

所以

又对于正数，由二项式定理

所以

又因为，所以所以

知识点

二次函数的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x（x∈R）。

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）当时，求函数f（x）的取值范围。

正确答案

（1）T=（2）

解析

（1）因为f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=。

所以，（7分）

（2）

当时，，

所以当，，

当，f（x）min=﹣2。

所以f（x）的取值范围是，（13分）

知识点

二次函数的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

2008年5月12日，四川汶川发生8.0级特大地震，通往灾区的道路全部中断. 5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）、陆路（东南和西北两个方向各一支队伍）和空中（一支队伍）同时向灾区挺进，在5月13日，仍时有较强余震发生，天气状况也不利于空中航行. 已知当天从水路抵达灾区的概率是，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是，从空中抵达灾区的概率是。

（1）求在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率；

（2）求在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望.

正确答案

见解析

解析

（1）解法一：依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且，

在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是

.

解法二：在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是

.

（2）依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且.

设5月13日抵达灾区的队伍数为，则=0、1、2、3、4.

由已知有：；

；

.

因此其概率分布为：

所以在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望为：

=0×+ 1× + 2× + 3×+ 4×=.

答：在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望=.

知识点

二次函数的应用

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数，,，那么下面命题中真命题的序号是（）

①的最大值为 ② 的最小值为

③在上是增函数 ④ 在上是增函数

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

A

解析

因为，，所以。函数的导数为，由，解得，又因为，所以，此时函数单调递增，由，解得，又因为，所以，此时函数单调递减，所以①③正确，选A.

知识点

二次函数的应用

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数为实数）。

（1）若为偶函数，求实数a的值；

（2）设，求函数的最小值。

正确答案

（1）a=0（2）a-1

解析

（1）函数是偶函数，

，即，解得；………………………………… 3分

（2）= ,………………………………………………… 5分

当时，，

由，得，

故在时单调递增，的最小值为；……………………… 8分

当，，

故当时，单调递增，当时，单调递减，

则的最小值为；……………………………………………………… 11分

由于，故的最小值为. ………………………… 12分

知识点

二次函数的应用

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