- 比较法
- 共208题
(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲
已知,且
、
、
是正数,求证:
.
正确答案
(3)证明:左边= ………………2分
…………6分
. ………………7分
已知i,m、n是正整数,且1<i≤m<n.
(1)证明: niA<miA
(2)证明: (1+m)n>(1+n)m
正确答案
证明过程略
(1)对于1<i≤m,且A =m·…·(m-i+1),
,
由于m<n,对于整数k=1,2,…,i-1,有,
所以
(2)由二项式定理有:
(1+m)n=1+Cm+C
m2+…+C
mn,
(1+n)m=1+Cn+C
n2+…+C
nm,
由(1)知miA>niA
(1<i≤m,而C
=
∴miCin>niCim(1<m<n
∴m0C=n0C
=1,mC
=nC
=m·n,m2C
>n2C
,…,
mmC>nmC
,mm+1C
>0,…,mnC
>0,
∴1+Cm+C
m2+…+C
mn>1+C
n+C2mn2+…+C
nm,
即(1+m)n>(1+n)m成立。
若a,b,c为不全相等的正数,求证:lg+lg
+lg
>lga+lgb+lgc.
正确答案
见解析
证明:由a,b,c为正数,得lg≥lg
;lg
≥lg
;lg
≥lg
.
而a,b,c不全相等,
所以lg+lg
+lg
>lg
+lg
+lg
="lg" (abc)=lga+lgb+lgc.
即lg+lg
+lg
>lga+lgb+lgc.
(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
(I)已知都是正实数,求证:
;
(II)已知都是正实数,求证:
.
正确答案
略
证明:(Ⅰ)∵
,
又∵,∴
,∴
,
∴. …………(5分)
法二:∵,又∵
,∴
,
∴,展开得
,
移项,整理得.
…………(5分)
(II) ∵,由(I)知:
;
;
;
将上述三式相加得:,
∴ …………(10分)
已知a,b,x,y均为正数且>
,x>y.
求证:>
.
正确答案
见解析
证明:∵-
=
,
又>
且a,b均为正数,
∴b>a>0.又x>y>0,
∴bx>ay.∴>0,
即>
.
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