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题型:简答题
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简答题

(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲

已知,且是正数,求证:.

正确答案

(3)证明:左边=           ………………2分

   …………6分

.                        ………………7分

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简答题

已知imn是正整数,且1<imn.

(1)证明: niAmiA 

(2)证明: (1+m)n>(1+n)m

正确答案

证明过程略

(1)对于1<im,且A =m·…·(mi+1),

由于mn,对于整数k=1,2,…,i-1,有

所以

(2)由二项式定理有:

(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn

(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm

由(1)知miAniA (1<im,而C=

miCinniCim(1<mn

m0C=n0C=1,mC=nC=m·nm2Cn2C,…,

mmCnmCmm+1C>0,…,mnC>0,

∴1+Cm+Cm2+…+Cmn>1+Cn+C2mn2+…+Cnm

即(1+m)n>(1+n)m成立。

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简答题

若a,b,c为不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.

正确答案

见解析

证明:由a,b,c为正数,得lg≥lg;lg≥lg;lg≥lg.

而a,b,c不全相等,

所以lg+lg+lg>lg+lg+lg="lg" (abc)=lga+lgb+lgc.

即lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.

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简答题

(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

(I)已知都是正实数,求证:

(II)已知都是正实数,求证:.  

正确答案

证明:(Ⅰ)∵

又∵,∴,∴

.                                             …………(5分)

法二:∵,又∵,∴

,展开得

移项,整理得.                                  …………(5分)

(II) ∵,由(I)知:

将上述三式相加得:

                           …………(10分)

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简答题

已知a,b,x,y均为正数且>,x>y.

求证:>.

正确答案

见解析

证明:∵-=,

>且a,b均为正数,

∴b>a>0.又x>y>0,

∴bx>ay.∴>0,

>.

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