比较法
共208题

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题型：简答题

简答题

已知a＞0，n为正整数，

（Ⅰ）设y=（x-a）n，证明y′=n（x-a）n-1；

（Ⅱ）设fn（x）=xn-（x-a）n，对任意n≥a，证明fn+1′（n+1）＞（n+1）fn′（n）。

正确答案

证明：（Ⅰ）因为，

所以；

（Ⅱ）对函数，求导数：，

所以，

当x≥a＞0时，，

∴当x≥a时，是关于x的增函数，

因此，当n≥a时，，

∴

，

即对任意。

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=（t-x），其中t为常数，且t>0。

（1）求函数ft（x）在（0，+∞）上的最大值；

（2）数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），且设bn=1-，证明：对任意的x＞0，bn≥n=1，2，3，…；

（3）证明：b1+b2+…+bn＞。

正确答案

解：（1）由于

则

∵x>0

∴当x＜t时，f′t（x）＞

题型：简答题

简答题

函数，数列和满足：，，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为.

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；

（3）若函数，令函数数列满足:且，证明:

正确答案

解:(1)∵ ，得

是以2为首项，1为公差的等差数列，

故

(2) ∵，

，

在点处的切线方程为

令得

∴仅当时取得最小值，

∴的取值范围为

(3)

所以

又因

则

显然

∵

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R），

(1)讨论函数f（x）的单调性；

(2)若函数f（x）有两个零点，求实数的取值范围；

(3)若函数f（x）的最小值为h（a），m，n为h（a）定义域A中的任意两个值，求证：。

正确答案

解：(1)，

令，

当a≥0时，，

∴函数上单调递增；

当a＜0时，若；

若；

∴函数上单调递减，在区间上单调递增；

综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调增区间为；

当a＜0时，函数f（x）的单调减区间为，单调增区间为；

(2)由(1)知，当a≥0时，函数f（x）至多有一个零点，不符合题意，

∴a＜0，

又由(1)知，若a＜0，

则函数f（x）在处取得极小值，

∴函数f（x）有两个零点，解得a＜-2e，

∴a的取值范围是；

(3)由(1)(2)知，当a≥0时，函数f（x）无最小值；

当a＜0时，，

对于且m≠n，有

，

不妨设m＜n＜0，则，

令，则

，

设，

则，

当且仅当t=1时取“=”，

所以函数u（t）在上单调递增，

故t＞1时，，

又n＜0，

∴，

所以。

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x2-alnx在(1，2]是增函数，g（x）=x-a在（0，1）为减函数，

（1）求a的值；

（2）设函数φ（x）=2bx-是区间(0，1]上的增函数，且对于(0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥φ（t）恒成立，求实数b的取值范围；

（3）设h（x）=f′（x）-g（x）-，求证：[h（x）]n+2≥h（xn）+2n（n∈N*）。

正确答案

解：（1），

依题意，

∴，

又∵，

依题意，；

∴a=2；

（2），

当，

∴f（x）为减函数，其最小值为1，

令，则在（0，1）上，，

∵函数在为增函数，恒成立，

∵，

又在的最大值为2b-1，

依题意，为所求范围。

（3）

，

当n=1时，等式成立；

当n≥2时，

，

由均值不等式得，

∴。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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