- 比较法
- 共208题
若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|，则称x比y接近m。
（I）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
（Ⅱ）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
（Ⅲ）已知函数f（x）的定义域D={x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}。任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值。写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）。
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得|x2-1|<3，即-3
解得-2
∴x的取值范围是（-2，2）；
（Ⅱ）证明：当a、b是不相等的正数时，a3+b3-（a2b+ab2）=（a-b）2（a+b）>0
又
则
于是
（Ⅲ）由|1-sinx|< |1+sinx|得1-sinx<1+sinx，即sinx>0，则2kπ
同理，若|1+sinx|< |1-sinx|，则2kπ+π
于是，函数f（x）的解析式是
函数f（x）的大致图象如下：
函数f（x）的最小正周期T=π
函数f（x）是偶函数
当
函数f（x）在
在
若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．
（1）若2x﹣1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近
正确答案
（1）解：若2x﹣1比3接近0，则有|2x﹣1﹣0|＜|3﹣0|，
∴|2x﹣1|＜3，即﹣3＜2x﹣1＜3，
解得﹣1＜x＜2，故x的取值范围为 （﹣1，2）．
（2）证明：对任意两个不相等的正数a、b，
有a2b+ab2 ＞
又因为|a2b+ab2 ﹣
=ab（a+b）﹣
=ab（a+b）﹣（a+b）（a2+b2﹣ab）
=﹣（a+b）（a﹣b）2＜0，
所以，|a2b+ab2 ﹣
即a2b+ab2比a3+b3接近
数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥xn+1；
（Ⅲ）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求
正确答案
（Ⅰ）证明：由
从而有
所以，当n≥2时，
（Ⅱ）证明：当n≥2时，因为
所以
故当n≥2时，
（Ⅲ）解：记
由
即
由A＞0，解得
故
数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，
（1）证明：对n≥2，总有
（2）证明：对n≥2，总有xn≥xn+1。
正确答案
解：（1）由
从而有
所以，当n≥2时，
（2）当n≥2时，因为
所以
故当n≥2时，
（选做题）证明：
（1）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2，
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：
正确答案
证明：（1）∵（x3+y3 ）﹣（x2y+xy2）=x2 （x﹣y）+y2（y﹣x）=（x﹣y）（x2﹣y2 ）
=（x+y）（x﹣y）2．
∵x，y都是正实数，∴（x﹣y）2≥0，（x+y）＞0，
∴（x+y）（x﹣y）2≥0，
∴x3+y3≥x2y+xy2．
（2）∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1，
∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2≥
扫码查看完整答案与解析