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证明：(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)

=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)，

∵a，b都是正数，

∴a+b，a2+ab+b2＞0，

又∵a≠b，

∴(a-b)2＞0，

∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0，

即：a5+b5＞a2b3+a3b2。

证明：（1）∵ （k=1，2，…，n﹣1），

∴ak≠0．

∵，∴ak+1﹣ak=﹣ak=＞0，

故数列{ak}是一个递增数列，即数列{ak}是一个单调数列．

（2）由递推公式，得=，

∴，

令k=1，2，3，…，n﹣1，

有＜，＜，…，

∴，

∴，

∴an＜1，

从而有：，

∴，

令k=1，2，3，…，m﹣1，

有，，…，

∴，

将代入整理得

∴对一切1＜m＜n，m∈N有：．

解：（1）由于x≥1，y≥1，所以

xy（x+y）+1≤y+x+（xy）2将上式中的右式减左式，得（y+x+（xy）2）-（xy（x+y）+1）

=（（x+y）2-1）-（xy（x+y）-（x+y））

=（xy+1）（xy-1）-（x+y）（xy-1）

=（xy-1）（xy-x-y+1）

=（xy-1）（x-1）（y-1）

既然x≥1，y≥1，所以（xy-1）（x-1）（y-1）≥0，从而所要证明的不等式成立。

（2）设logab=x，logbc=y，由对数的换底公式得，

于是，所要证明的不等式即为

其中

故由（1）知所要证明的不等式成立。

解：（Ⅰ）由|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，

∴0＜x＜1，

集合M=（0，1）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）及a，b∈M知 0＜a＜1，0＜b＜1，

所以（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0，

故 ab+1＞ab．