- 比较法
- 共208题
若a,b∈R,求证:≤
+
.
正确答案
证明略
证明 当|a+b|=0时,不等式显然成立.
当|a+b|≠0时,由0<|a+b|≤|a|+|b|
≥
,
所以=
≤
=
≤+
.
已知a,b为正数,求证:
(1)若+1>
,则对于任何大于1的正数x,恒有ax+
>b成立.
(2)若对于任何大于1的实数x,恒有ax+>b成立,则
+1>
.
正确答案
见解析
证明:(1)∵x>1,∴ax+=a(x-1)+
+1+a≥2
+1+a=(
+1)2.
∵+1>
(b>0),
∴(+1)2>b.
即ax+>b.
(2)∵ax+>b对于大于1的实数x恒成立,
即x>1时,[ax+]min>b,
而ax+=a(x-1)+
+1+a≥2
+1+a=(
+1)2,
当且仅当a(x-1)=,
即x=1+>1时取等号.
故[ax+]min=(
+1)2.
则(+1)2>b,即
+1>
.
(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知均为正数,证明:
,并确定
为何值时,等号成立。
正确答案
证明见解析,当且仅当a=b=c=时,等号成立
(证法一)
因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得
①
所以 ② ……6分
故.
又 ③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立。当且仅当时,③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立。 ……10分
(证法二)
因为a,b,c均为正数,由基本不等式得
所以 ①
同理 ② ……6分
故
③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,时,③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立。 ……10分
【考点定位】本题考查放缩法在证明不等式中的应用,本题在在用缩法时多次用到基本不等式,请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理,并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较.深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑,什么时候可以不考虑.
已知,求证:
。
正确答案
证明见解析
因为
已知函数
(I)求证
(II)若取值范围.
正确答案
(I)见解析(II)
(I)解法一要证
令,则
,
可得
在
[0,1]上为增函数,故
。
要证,也就是证
,即证
,也就是证
令,则
可得
在[0,1]上为增函数,
故
综上可得
(I)解法二要证,也就是证
令,令
,
即
为增函数,
,可得
在 [0,1]上为增函数,
故;
要证,也就是证
,即证
,令
,
,可得
即
,从而得
,故
综上可得
(II)
,
,
,从而
所以,
下面注明,
=
,令
则
于是,
此时
综上
第一问中的解法一采取对已知函数进行分离整理,使得函数的结构变得简单对称,求得导函数也就变得简单了,但是在解题过程中很难想到。解法二是直接移项构造函数,比较容易想到,但是求出导函数后又变得无从下手,这时候需要二次求导分析来解决。两种解法各有特点。
第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩,转化为另一个函数进行分析解答。
【考点定位】本题考查函数与导数,导数与不等式的综合应用。
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