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题型:简答题
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简答题

已知,a,b,c均为正数,且a+b+c=1.

求证:++≥9.

正确答案

证明见解析

证明 ++=++

=3+++

≥3+2+2+2=9.

当且仅当a=b=c=时取等号.

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简答题

已知,求证:

正确答案

同解析

,且

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简答题

已知,且,求证: 

正确答案

只需证明

试题分析:证明 : ,且

,  故成立

点评:作差法常应用于比较两数的大小和证明不等式。

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简答题

(12分)已知0<a<1,0<b<1,0<c<1。求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于

正确答案

见解析

解法一:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于

则(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a> 

∵0<a<1,

∴a>0,1-a>0。

∴0<a(1-a)≤[]2= 

同理0<b(1-b)≤,0<c(1-c)≤

三式相乘得:0<(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a≤ ②

①与②矛盾,故假设不成立

∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于

解法二:假设:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于

∵0<a<1,0<b<1,

∴(1-a)+b≥=1

同理(1-b)+c>1,(1-c)+a>1

三式相加得:(1-a)+b+(1-b)+c+(1-c)+a>3

即3>3,不等式不成立,故假设不成立。

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简答题

已知x>0,y>0,z>0.

求证:≥8.

正确答案

证明见解析

证明 ∵x>0,y>0,z>0,

+>0, +>0.

+>0,

 

=8.

(当且仅当x=y=z时等号成立)

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