- 比较法
- 共208题
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题型:简答题
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已知,a,b,c均为正数,且a+b+c=1.
求证:+
+
≥9.
正确答案
证明见解析
证明 +
+
=
+
+
=3++
+
≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=时取等号.
1
题型:简答题
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已知,求证:
.
正确答案
同解析
,且
,
∴,
即.
1
题型:简答题
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已知,且
,求证:
正确答案
只需证明
试题分析:证明 :
,且
,
, 故
成立
点评:作差法常应用于比较两数的大小和证明不等式。
1
题型:简答题
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(12分)已知0<a<1,0<b<1,0<c<1。求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于。
正确答案
见解析
解法一:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于,
则(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>
∵0<a<1,
∴a>0,1-a>0。
∴0<a(1-a)≤[]2=
同理0<b(1-b)≤,0<c(1-c)≤
,
三式相乘得:0<(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a≤ ②
①与②矛盾,故假设不成立
∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于
解法二:假设:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于,
∵0<a<1,0<b<1,
∴(1-a)+b≥>
=1
同理(1-b)+c>1,(1-c)+a>1
三式相加得:(1-a)+b+(1-b)+c+(1-c)+a>3
即3>3,不等式不成立,故假设不成立。
1
题型:简答题
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已知x>0,y>0,z>0.
求证:≥8.
正确答案
证明见解析
证明 ∵x>0,y>0,z>0,
∴+
≥
>0,
+
≥
>0.
+
≥
>0,
∴
≥=8.
(当且仅当x=y=z时等号成立)
已完结
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