热门试卷

36，

由柯西不等式得

……4分

当且仅当时等号成立，此时

所以当时，取得最小值36…… 7分

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．

试题分析：（Ⅰ）构造函数，通过导函数可知函数在上是增函数，而，，故在上有唯一实根，即，然后利用函数的单调性，用反证法证明；（Ⅱ）先证，再由，可得．注意放缩法的技巧.

试题解析：（Ⅰ）设，则

显然，在上是增函数

在上有唯一实根，即                               4分

假设，

则

，矛盾，故                    8分

（Ⅱ）

      （）

，

                                           13分

方法二：

由（Ⅰ）=

证明：A-B=（xn+x-n）-（xn-1+x1-n）

=x-n（x2n+1-x2n-1-x）

=x-n[x（x2n-1-1）-（x2n-1-1）]

=x-n（x-1）（x2n-1-1）．

由x∈R+，x-n＞0，得

当x≥1时，x-1≥0，x2n-1-1≥0；

当x＜1时，x-1＜0，x2n-1＜0，即

x-1与x2n-1-1同号．∴A-B≥0．∴A≥B．

（Ⅰ）12,27,48,75. （Ⅱ）， ．（Ⅲ）详见解析．

试题分析：（Ⅰ）求出,,,，第二个图形的黑点个数为第一个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即，第三个图形的黑点个数为第二个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即，以此类推可求出,；（Ⅱ）观察,,,可得到，后一个图形的黑点个数是前一个图形外多加一个三角形，而且每一条边都比内一个三角形多两个黑点，即，即，求出的表达式，像这种关系可用叠加法，即写出，

，，，，把这个式子叠加，即可得出的表达式；（Ⅲ）求证：()， 先求出的关系式，得，由于求证的不等式右边是常数，可考虑利用放缩法，即，这样既可证明．

试题解析：（Ⅰ）由题意有，，  ， ，

，．

（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）知，，

即，所以，，，，          5分

将上面个式子相加，得：

                 6分

又，所以．                    7分

（Ⅲ），∴．  9分

当时，，原不等式成立．        10分

当时，，原不等式成立．   11分

当时，

， 原不等式成立．                 13分

综上所述，对于任意，原不等式成立．         14分