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题型:填空题
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填空题

中,不等式成立;在凸四边形ABCD中,

不等式成立;在凸五边形ABCDE中,不等式成立,,依此类推,在凸n边形中,不等式__    ___成立.

正确答案

试题分析:我们可以利用归纳推理的方法得到不等式,从而得出结论.

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题型:简答题
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简答题

(本题满分12分)

已知:

求证:

正确答案

.证明:…………2分

由于

=………………5分

…………①………………6分

由于

………②……………8分

同理: …………③……………10分

①+②+③得:

即原不等式成立………………12分

同答案

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)

已知:, 求证:.

正确答案

见解析。

可以采用最基本的作差比较法,可以利用分析法求解.

证明:(法一:作差比较法)

左边-右边=

∴  

得证.

(法二)∵   

∴ 

            

二式相加得

∴  

得证.

注:也可用分析法或综合法证明.

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题型:简答题
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简答题

为非负实数,满足,证明:

正确答案

不等式的证明一般可以考虑运用作差法或者是利用分析法来证明。

试题分析:为使所证式有意义,三数中至多有一个为0;据对称性,不妨设,则

、当时,条件式成为,而

只要证,,即,也即,此为显然;取等号当且仅当

、再证,对所有满足的非负实数,皆有

.显然,三数中至多有一个为0,据对称性,

仍设,则,令为锐角,以为内角,构作,则,于是,且由知,;于是,即是一个非钝角三角形.

下面采用调整法,对于任一个以为最大角的非钝角三角形,固定最大角,将调整为以为顶角的等腰,其中,且设,记,据知,

.今证明,.即

……①.

即要证   ……②

先证  ……③,即证

,此即 ,也即

,即 ,此为显然.

由于在中,,则;而在中,

,因此②式成为

 ……④,

只要证, ……⑤,即证 ,注意③式以及

,只要证,即,也即…⑥

由于最大角满足:,而,则,所以

,故⑥成立,因此⑤得证,由③及⑤得④成立,从而①成立,即,因此本题得证.

点评:主要是考查了不等式的证明,方法比较多,一般是分析法和作差法构造函数法,属于难度题。

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题型:简答题
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简答题

已知a,b均为正数,且a+b=1,证明:

(1)

(2)

正确答案

见解析

(1)

因为a+b=1,所以,a-1=-b,b-1=-a,故

=,当且仅当a=b时等号成立。

(2)

=

=

当且仅当a=b时等号成立。

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