- 比较法
- 共208题
在中,不等式
成立;在凸四边形ABCD中,
不等式成立;在凸五边形ABCDE中,不等式
成立,,依此类推,在凸n边形
中,不等式
__ ___成立.
正确答案
试题分析:我们可以利用归纳推理的方法得到不等式,从而得出结论.
(本题满分12分)
已知:
求证:
正确答案
.证明:…………2分
由于
=………………5分
…………①………………6分
由于
………②……………8分
同理: …………③……………10分
①+②+③得:
即原不等式成立………………12分
同答案
(本小题满分14分)
已知:, 求证:
.
正确答案
见解析。
可以采用最基本的作差比较法,可以利用分析法求解.
证明:(法一:作差比较法)
左边-右边=
∴
得证.
(法二)∵
∴
二式相加得
∴
得证.
注:也可用分析法或综合法证明.
设为非负实数,满足
,证明:
.
正确答案
不等式的证明一般可以考虑运用作差法或者是利用分析法来证明。
试题分析:为使所证式有意义,三数中至多有一个为0;据对称性,不妨设
,则
;
、当
时,条件式成为
,
,
,而
,
只要证,,即
,也即
,此为显然;取等号当且仅当
.
、再证,对所有满足
的非负实数
,皆有
.显然,三数
中至多有一个为0,据对称性,
仍设,则
,令
,
为锐角,以
为内角,构作
,则
,于是
,且由
知,
;于是
,即
是一个非钝角三角形.
下面采用调整法,对于任一个以为最大角的非钝角三角形
,固定最大角
,将
调整为以
为顶角的等腰
,其中
,且设
,记
,据
知,
.今证明,
.即
……①.
即要证 ……②
先证 ……③,即证
,
即 ,此即
,也即
,即
,此为显然.
由于在中,
,则
;而在
中,
,因此②式成为
……④,
只要证, ……⑤,即证
,注意③式以及
,只要证
,即
,也即
…⑥
由于最大角满足:
,而
,则
,所以
,故⑥成立,因此⑤得证,由③及⑤得④成立,从而①成立,即
,因此本题得证.
点评:主要是考查了不等式的证明,方法比较多,一般是分析法和作差法构造函数法,属于难度题。
已知a,b均为正数,且a+b=1,证明:
(1)
(2)
正确答案
见解析
(1)
因为a+b=1,所以,a-1=-b,b-1=-a,故
=
,当且仅当a=b时等号成立。
(2)
=
=
当且仅当a=b时等号成立。
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