热门试卷

证明略

证法一: (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立:

(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2，

∴当n=k+1时，不等式成立.

综合(1)、(2)得:当n∈N*时，都有1+＜2.

另从k到k+1时的证明还有下列证法:

证法二: 对任意k∈N*，都有:

证法三:设f(n)= 

那么对任意k∈N*都有:

∴f(k+1)＞f(k)

因此，对任意n∈N*都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，

∴

证明略

因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.

,

相加整理得.

当且仅当时等号成立.

【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.

见解析。

本试题主要是考查了不等式的证明，利用均值不等式和消元的思想，表示参数，然后结合a，b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根，得到判别式大于零，得到c的范围。

因为a＋b＝1－c，ab＝＝c2－c，      ………………………3分

所以a，b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根，

则△＝(1－c)2－4(c2－c)＞0，得－＜c＜1，            ………………………5分

而(c－a)(c－b)＝c2－(a＋b)c＋ab＞0，

即c2－(1－c)c＋c2－c＞0，得c＜0，或c＞，       …………………………8分

又因为，所以．所以－＜c＜0，即1＜a＋b＜．  …………10分

（1）见解析（2）见解析

证明：（1）(证法一)记g(x)＝lnx＋－1－ (x－1).则当x>1时，

g′(x)＝＋－<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减.

又g（1）＝0，有g(x)<0，即f(x)< (x－1).

(证法二)

由均值不等式，当x>1时，2<＋.①

令k(x)＝lnx－x＋1，则k（1）＝0，k′(x)＝－1<0，

故k(x)<0，即lnx

由①②得，当x>1时，f(x)< (x－1).

（2）(证法一)记h(x)＝f(x)－，由（1）得

h′(x)＝＋－＝－<－＝.

令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当12－216<0.

因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g（1）＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.

因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h（1）＝0，得h(x)<0.于是当1.

(证法二)记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，

则当1 (x－1)＋(x＋5)－9

＝ [3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x]<

＝ (7x2－32x＋25)<0.

因此h(x)在(1,3)内单调递减，又，所以，即.