变化率与导数
共3697题

变化率与导数
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题型：简答题

简答题

有浓度为a% 的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是___________.

正确答案

·a %

本题考查指数函数的应用.

第一次加满水时，瓶中酒精的浓度为(1-)·a % ，

第二次加满水时，瓶中酒精的浓度为(1-)(1-)a %=·a % ，

依次可得第n次加满水时，瓶中酒精的浓度为·a % .

题型：简答题

简答题

已知函数（）．

（1）求的单调递增区间；

（2）在锐角三角形中，、、分别是角、、的对边，若，，的面积为，求的值．

正确答案

（1），；（2）

试题分析：（1）由函数（），利用化一公式，将函数化为一个函数的形式.再根据基本函数的单调性得到结论.

（2）由（1）及.可求得角A的值.又根据三角形的面积公式公式，可求出b.在三角形ABC中，已知角A，边长b,c.由余弦定理求出的值.

（1）.由，得，.所以的单调递增区间是，.

（2）∵，∴．

∵，∴，∴，∴．由解得.

由余弦定理得．

∴ ．

题型：填空题

填空题

圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是．

正确答案

试题分析：依题意，当直线向下平移到与曲线相切时，所求圆的半径最小，即面积最小，设切点为，由，故切线斜率，则，，圆的半径为，故圆的方程为．

题型：填空题

填空题

设，若f (x)在x=1处的切线与直线垂直，则实数a的值为

正确答案

-1

试题分析：解:因为,所以，

又f (x)在x=1处的切线与直线垂直，所以，，解得：

故答案应填：

题型：简答题

简答题

已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．

正确答案

3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.

设切点为A(x0，y0)，则y0＝＋1.

＝Δx2＋3x0Δx＋3.

∴f′(x0)＝3，切线的斜率为k＝3.

点(1,2)在切线上，∴2－(＋1)＝3 (1－x0)．∴x0＝1或x0＝－.

当x0＝1时，切线方程为3x－y－1＝0，

当x0＝－时，切线方程为3x－4y＋5＝0.

所以，所求切线方程为3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.

题型：填空题

填空题

曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．

正确答案

2x－y＋1＝0

＝Δx＋2，当Δx→0时，Δx＋2→2.

所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2，其方程为y－3＝2(x－1)．

即为2x－y＋1＝0.

题型：填空题

填空题

已知直线与曲线相切，则的值为．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）已知两地的距离是120km．假设汽油的价格是6元/升，以km/h（其中）速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，司机每小时的工资是28元．那么最经济的车速是多少？如不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？

正确答案

km/h，288

设汽车以km/h行驶时，行车的总费用为元，则

，． ……………4分

．令，解得． ……………8分

当时，；当时，． ……………9分

最经济的车速为km/h，此时行车的总费用为288元． ……………10分

题型：简答题

简答题

设的定义域，对于任意正实数m，n恒有，且当

时，.

（1）求的值；（2）求证：在上是增函数；

（3）解关于x的不等式，其中.

正确答案

（1）1（2）见解析（3）

题型：填空题

填空题

函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)

＝________.

正确答案

由已知切点在切线上．∴f(1)＝×1＋2＝.

切线的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3.

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