变化率与导数
共3697题

变化率与导数
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题型：简答题

简答题

已知函数其中为自然对数的底数

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若函数为单调函数，求实数的取值范围；

（3）若时，求函数的极小值。

正确答案

18．解：

（I）由

得，

（II）由，

∴数列{}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，

当n=1时a1=1满足

（III）①

，②

①－②得，

则.

当n=1时，

即当n=1或2时，当n>2时，

略

题型：填空题

填空题

函数的递增区间是：________________

正确答案

略

题型：填空题

填空题

函数在上的单调递减区间为 .

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知函数，其中.

若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

正确答案

，由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．所以函数的解析式为．

题型：简答题

简答题

一物体的运动方程为，试比较当和时的速度大小。

正确答案

时速度大

当时，速度，当时，速度，∵，∴时速度大。

题型：填空题

填空题

已知函数的图象在点处的切线方程是，则

．

正确答案

试题分析：根据题意，由于函数的图象在点处的切线方程是，可知该点的切线的斜率为，函数值为，因此可知3，故答案为3.

点评：熟练的运用导数的几何意义来表示切线方程是解题的关键，属于基础题。

题型：简答题

简答题

（本小题满分13分）

已知函数、

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若为正常数，设，求函数的最小值；

（Ⅲ）若，，证明：、

正确答案

（Ⅰ）∵，解，得；解，得.

∴的单调递增区间是，单调递减区间是. ……3′

（Ⅱ）∵，定义域是.

∴……5′

由，得，由，得

∴ 函数在上单调递减；在上单调递增……7′

故函数的最小值是：. ……8′

（Ⅲ）∵，，∴ 在（Ⅱ）中取，

可得，即.……10′

∴，∴.

即.……12′

略

题型：填空题

填空题

一质点的运动方程为，该质点在时的瞬时速度。

正确答案

∵，所以瞬时速度为。

题型：简答题

简答题

一火车锅炉每小时消耗的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时时，每小时消耗的煤价值元，至于其他费用每小时要元，问火车行驶的速度为多少时，才能使火车从甲城开往乙城的总费用最省？

正确答案

当时，费用最小

设速度为，甲、乙之间的距离为，则总费用为，∵，∴，∴，，令，则，∵只有一个极值，∴当时，费用最小。

题型：简答题

简答题

已知函数。

（1）求函数的单调区间；

（2）求在曲线上一点的切线方程。

正确答案

（1）增区间：减区间：（2）

试题分析：(1)函数求导，令得或，令得，所以增区间：，减区间：

(2)，所以过点的切线斜率为0，切线方程为

点评：函数导数可得增区间，可得减区间，函数在某点处的导数值等于该点处的切线斜率

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