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题型:简答题
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简答题

已知函数,其中

(1)当时,求曲线在点处的切线方程;

(2)求函数上的最大值.

正确答案

(1)当时,

所以,曲线在点处的切线方程为

;   (6分)

(2)

时,单调递减,

时,令,解得.因为,所以

,又当时,,故单调递减,;

综上,函数上的最大值为.

(1)先求出x=2的导数也就是点(2,f(2))处切线的斜率,然后再利用点斜式写出切线方程化成一般式即可.

(2)求导,然后列表研究极值,最值.要注意参数的取值范围.

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题型:填空题
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填空题

.曲线在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_         _

正确答案

因为的导数为,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为,切线方程为,切线横截距为,交于(2,4),所以曲线在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为=

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为:其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完。

(1)将2010年利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数;

(2)该企业2010年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?

(注:利润=销售收入—生产成本—促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

正确答案

(1)y=(2)

(1)由题意:……………………………………………1分

代入得:…………………………………………………2分

…………………………………………3分

当年生产(万件)时

年生产成本=年生产费用+固定费用=

当销售(万件)时,年销售收入=〕+=+

由题意,生产万件化妆品正好销完,

∵年利润=年销售收入—年生产成本—促销费

+

=…………………………………………6分

(2)方法一:

…………………………………………9分

时,,当.

上单调递增,在上单调递减. …………………………11分

故当时,取最大值.

所以当促销费定在7万元时,企业的年利润最大.………………………………12分

方法二:

………………………………10分

当且仅当时取等号.即t=7时,取最大值. ……………………………11分

所以当促销费定在7万元时,企业的年利润最大. ………………………………12分

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题型:填空题
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填空题

曲线在点的切线方程为               

正确答案

3x-y-2=0

解:因为曲线在点的切线斜率为3,过点(1,1),故切线方程为3x-y-2=0

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分13分)

已知在函数的图像上以为切点的切线的倾斜角为

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若方程有三个不同实根,求的取值范围;

(Ⅲ)是否存在最小的正整数,使得不等式,对恒成立?如果存在,请求出最小的正整数;如果不存在,请说明理由。

正确答案

解:

(I)               ………………2分

(II)

           

f’(x)            +   极大值      -   极小值      +

f(x)            ↑           ↑       ………………2分

   ………………1分

    ………………1分

依题意                           ………………1分

(III)只须求得y=f(x)在[-1,3]上的max

x                       

f’(x)            +                         -                       +

f(x)            ↑                  ↑    ………………1分

             ………………1分

                    ………………1分

                    ………………1分

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题型:简答题
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简答题

,函数

(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)求函数上的最小值.

正确答案

(Ⅰ).   

时,,所以曲线在点处的切线方程为,即.                                          

(Ⅱ)令,解得

,则当时,,函数上单调递减,

所以,当时,函数取得最小值,最小值为

,则当时,当变化时,的变化情况如下表:

所以,当时,函数取得最小值,最小值为.   

,则当时,,函数上单调递增,

所以,当时,函数取得最小值,最小值为.  

综上,当时,的最小值为;当时,的最小值为

时,的最小值为.                          

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题型:简答题
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简答题

已知函数,其中为常数,为自然对数的底数.

(1)求的单调区间;

(2)若,且在区间上的最大值为,求的值;

(3)当时,试证明:.

正确答案

(1)单调增区间为,单调减区间为;(2);(3)证明过程详见解析.

试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,讨论的正负来求单调性,利用导数大于0或小于0,通过解不等式来求函数的单调性;第二问,讨论方程的根与已知区间的关系,先判断函数的单调性,再求最值,列出方程解出的值;第三问,证明“”两边的两个函数的最值,来证明大小关系.

试题解析:(1)                 1分

时,恒成立,故的单调增区间为      3分

时,令解得,令解得,故的单调增区间为的单调减区间为             5分

(2)由(I)知,

①当,即时,上单调递增,∴舍;   7分

②当,即时,上递增,在上递减,

,令,得       9分

(Ⅲ)即要证明,                     10分

由(Ⅰ)知当时,,∴,        11分

又令,                  12分

上单调递增,在上单调递减,             13分

                         14分

即证明.

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题型:填空题
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填空题

对于三次函数给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。给定函数,请你根据上面探究结果,计算            

正确答案

2012

试题分析:由题意,,所以

,解得,又,所以函数的对称中心为

所以.

点评:正确求出对称中心并掌握对称中心的性质是解题的关键.

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)

已知数列的前项和为,函数,

(其中均为常数,且),当时,函数取得极小值.

均在函数的图像上(其中的导函数).

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求数列的通项公式.

正确答案

(Ⅰ)(Ⅱ)

试题分析:(Ⅰ)因为

所以.

,或.

由此可得下表

因为,所以处取得唯一的极小值,可得.         ……6分

(Ⅱ)由题意知函数,

因为均在函数的图像上,

所以  .

由于,所以,得,                                  ……8分即                                            ①

时,                        ②

①-② ,得时,

所以

已知也满足上述公式,故数列的通项公式为.                 ……12分 ,考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力.

点评:利用导数求极值或最值时,画表格比较清楚直观,已知要分两种情况,而且不要忘记验证时的是否适合时求出的.

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题型:填空题
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填空题

曲线处的切线方程为_____________.

正确答案

解:因为,且过点(0,2),则由点斜式可知方程为

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