- 变化率与导数
- 共3697题
已知函数,其中
.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求函数在
上的最大值.
正确答案
(1)当时,
,
,
所以,曲线在点
处的切线方程为
,
即; (6分)
(2).
当时,
,
在
单调递减,
;
当时,令
,解得
,
.因为
,所以
且
,又当
时,
,故
在
单调递减,
;
综上,函数在
上的最大值为
.
(1)先求出x=2的导数也就是点(2,f(2))处切线的斜率,然后再利用点斜式写出切线方程化成一般式即可.
(2)求导,然后列表研究极值,最值.要注意参数的取值范围.
.曲线在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_ _。
正确答案
因为的导数为
,所以曲线
在点(1,1)处的切线斜率为
,切线方程为
,切线横截距为
,交
于(2,4),所以曲线
在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为
=
。
(本小题满分12分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为:其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完。
(1)将2010年利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数;
(2)该企业2010年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
(注:利润=销售收入—生产成本—促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
正确答案
(1)y=(2)
(1)由题意:……………………………………………1分
将代入得:
…………………………………………………2分
…………………………………………3分
当年生产(万件)时
年生产成本=年生产费用+固定费用=
当销售(万件)时,年销售收入=
〔
〕+
=
+
由题意,生产万件化妆品正好销完,
∵年利润=年销售收入—年生产成本—促销费
+
—
—
=…………………………………………6分
(2)方法一:
…………………………………………9分
当时,
,当
时
.
则在
上单调递增,在
上单调递减. …………………………11分
故当时,
取最大值.
所以当促销费定在7万元时,企业的年利润最大.………………………………12分
方法二:
………………………………10分
当且仅当时取等号.即t=7时,
取最大值. ……………………
………11分
所以当促销费定在7万元时,企业的年利润最大. ………………………………12分
曲线在点
的切线方程为 .
正确答案
3x-y-2=0
解:因为曲线在点
的切线斜率为3,过点(1,1),故切线方程为3x-y-2=0
(本小题满分13分)
已知在函数的图像上以
为切点的切线的倾斜角为
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若方程有三个不同实根,求
的取值范围;
(Ⅲ)是否存在最小的正整数,使得不等式
,对
恒成立?如果存在,请求出最小的正整数
;如果不存在,请说明理由。
正确答案
解:
(I) ………………2分
(II)
f’(x) + 极大值 - 极小值 +
f(x) ↑ ↑ ………………2分
………………1分
………………1分
依题意
………………1分
(III)只须求得y=f(x)在[-1,3]上的max
x
f’(x) + - +
f(x) ↑ ↑ ………………1分
………………1分
………………1分
………………1分
略
设,函数
.
(Ⅰ)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在
上的最小值.
正确答案
(Ⅰ).
当时,
,
,所以曲线
在点
处的切线方程为
,即
.
(Ⅱ)令,解得
或
.
① ,则当
时,
,函数
在
上单调递减,
所以,当时,函数
取得最小值,最小值为
.
② ,则当
时,当
变化时,
,
的变化情况如下表:
所以,当时,函数
取得最小值,最小值为
.
③ ,则当
时,
,函数
在
上单调递增,
所以,当时,函数
取得最小值,最小值为
.
综上,当时,
的最小值为
;当
时,
的最小值为
;
当时,
的最小值为
.
略
已知函数,其中
为常数,
为自然对数的底数.
(1)求的单调区间;
(2)若,且
在区间
上的最大值为
,求
的值;
(3)当时,试证明:
.
正确答案
(1)单调增区间为,单调减区间为
;(2)
;(3)证明过程详见解析.
试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,讨论的正负来求单调性,利用导数大于0或小于0,通过解不等式来求函数的单调性;第二问,讨论
方程的根与已知区间的关系,先判断函数的单调性,再求最值,列出方程解出
的值;第三问,证明“
”两边的两个函数的最值,来证明大小关系.
试题解析:(1) 1分
当时,
恒成立,故
的单调增区间为
3分
当时,令
解得
,令
解得
,故
的单调增区间为
,
的单调减区间为
5分
(2)由(I)知,
①当,即
时,
在
上单调递增,∴
舍; 7分
②当,即
时,
在
上递增,在
上递减,
,令
,得
9分
(Ⅲ)即要证明, 10分
由(Ⅰ)知当时,
,∴
, 11分
又令,
, 12分
故在
上单调递增,在
上单调递减, 13分
故 14分
即证明.
对于三次函数给出定义:设
是函数
的导数,
是函数
的导数,若方程
有实数解
,则称点
为函数
的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。给定函数
,请你根据上面探究结果,计算
正确答案
2012
试题分析:由题意,,所以
,
令,解得
,又
,所以函数
的对称中心为
,
所以.
点评:正确求出对称中心并掌握对称中心的性质是解题的关键.
(本小题满分12分)
已知数列的前
项和为
,函数
,
(其中均为常数,且
),当
时,函数
取得极小值.
均在函数
的图像上(其中
是
的导函数).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式.
正确答案
(Ⅰ)(Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)因为,
所以.
令得
,或
.
由此可得下表
因为,所以
在
处取得唯一的极小值,可得
. ……6分
(Ⅱ)由题意知函数,
因为均在函数
的图像上,
所以
.
由于,所以
,得
, ……8分即
①
当时,
②
①-② ,得时,
所以
已知也满足上述公式,故数列的通项公式为
. ……12分
求
,考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力.
点评:利用导数求极值或最值时,画表格比较清楚直观,已知求
要分
和
两种情况,而且不要忘记验证
时的
是否适合
时求出的
.
曲线在
处的切线方程为_____________.
正确答案
解:因为,且过点(0,2),则由点斜式可知方程为
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