热门试卷

解：设此切线过抛物线上的点，由导数的意义知此切线的斜率为2x0，

又因为此切线过点和点（x0，x02），其斜率应满足，

由此x0应满足，解得x0=2或3，

即切线过抛物线y=x2上的点为（2，4）或（3，9），

所以切线方程为y-4=4（x-2）或y-9=6（x-3），

化简得y=4x-4或y=6x-9，此即是所求的切线方程。

解：设点的坐标为（x0，y0），

则，

∴

当△x无限趋近于零时，无限趋近于4x0，

即f′（x0）=4x0，

（1）∵抛物线的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan45°=1，

即f′（x0）=4x0=1得，该点为；

（2）∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0，

∴斜率为4，

即f'（x0）=4x0=4得x0=1，

∴该点为（1，3）；

（3）∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直，

∴斜率为8，

即f′（x0）=4x0=8，得x0=2，

∴该点为（2，9）。

解：∵y=ax2+bx+c过点（1，1），

∴a+b+c=1，

∵y′=2ax+b，

∴曲线过点P（2，-1）的切线的斜率为4a+b =1，

又曲线过点（2，-1），

∴4a+2b+c=-1，

由解得

∴a、b、c的值分别为3、-11、9。

解：设切点为，

∵y′=2x，

∴

∴

故当时，直线y=x与曲线y=x2+k相切，且切点坐标为。

解：∵y′=（x2）′=2x，

设切点为M（x0，y0），则=2x0，

又∵PQ的斜率为，

而切线平行于PQ，

∴k=2x0=1，即，

∴切点为，

∴所求的切线方程为，

即4x-4y-1=0。

解：△y=2（3+△x）2+4（3+△x）-（2×32+4× 3）

=12△x+2（△x）2+4△x

=2（△x）2+16△x

∴，

∴。

解：由f(0)=0得c=0，f′(x)=3x2+2ax+b，

由f′(0)=0得b=0，

∴f(x)=x3+ax2=x2(x+a)，

由[-f(x)]dx=得a=-3，

∴f(x)=x3-3x2。

解（1）f′(x)=-2bx，f′(2)=-4b，f（2）=aln2-4b．

∴-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．

解得a=2，b=1．

（2）f（x）=2lnx-x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，

则h′(x)=-2x=，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．

在[， e]内，当x∈[， 1)时，h'（x）＞0，∴h（x）是增函数；

当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．

则方程h（x）=0在[， e]内有两个不等实根的充要条件是

即1＜m≤+2．

解：∵

∴曲线在点（3，27）处的切线方程为y-27=27（x-3），即y=27x-54，

此切线与x轴、y轴的交点分别为（2，0）、（0，-54），

∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积=54。