热门试卷

解：（1）由于Pn的横坐标构成以为首项，-1为公差的等差数列{xn}，故

又位于函数的图象上

所以

所以点的坐标为。

（2）由题意可设抛物线Cn的方程为

即

由抛物线Cn过点

于是有n2+1=

由此可得

故

所以（n≥2）

于是

故。

解：（I）f'（x）=3x2﹣2ax．因为f'（1）=3﹣2a=3，所以a=0．

又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，

则切点坐标（1，1），斜率为3

所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1）

化简得3x﹣y﹣2=0．

（II）令f'（x）=0，解得．

当，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而fmax=f（2）=8﹣4a．

当时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而fmax=f（0）=0．

当，即0＜a＜3，f（x）在上单调递减，在上单调递增，

从而

综上所述，

解：(Ⅰ)(ⅰ)由f(x)=x3-x得f′(x)=3x2-1=，

当x∈时，f′(x)＞0；

当x∈时，f′(x)＜0；

因此，f(x)的单调递增区间为，

单调递减区间为。

(ⅱ)曲线C在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，

即y=(3x12-1)x-2x13，

由得x3-x=(3x12-1)x-2x13，

即(x-x1)2(x+2x1)=0，解得x=x1或x=-2x1，故x2=-2x1，

进而有

，

用x2代替x1，重复上述计算过程，

可得x3=-2x2和S2=；

又x2=-2x1≠0，

所以，

因此有。

(Ⅱ)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象为曲线C′，

类似于(Ⅰ)(ⅱ)的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1，曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别别为S1，S2，则为定值．

证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，

故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至坐标原点，

因而不妨设g(x)=ax3+hx，且x1≠0，

类似(Ⅰ)(ⅱ)的计算可得，

故。

解：(Ⅰ)f′(x)=3x2-3a∈[-3a，+∞)，

∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切，

∴-1[-3a，+∞)，-1＜-3a，实数a的取值范围是；

(Ⅱ)存在，

证明：问题等价于当x∈[-1，1]时，，

设g(x)=|f(x)|，则g(x)在x∈[-1，1]上是偶函数，

故只要证明当x∈[0，1]时，，

①当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)=0，

g(x)=f(x)，g(x)max=f(1)=1-3a＞1＞；

②当时，f′(x)=3x2-3a=，

列表：

f(x)在上递减，在上递增，

注意到，且，

∴时，g(x)=-f(x)，时，g(x)=f(x)，

∴，

由，解得，此时成立，

∴，

由，解得，此时成立．

∴，

∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x0，使得成立。

解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，

依题意x1≠0，y1＞0，y2＞0，

由y=x2， ①

得y′=x，

∴过点P的切线的斜率k切=x1，

∴直线l的斜率kl=，

∴直线l的方程为，

联立①②消去y，得，

∵M是PQ的中点，

∴，

消去x1，得，

∴PQ中点M的轨迹方程为；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，

依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)，

分别过P、Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥y轴，垂足分别为P′、Q′，

则，

由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0， ③

则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2，

∴，

∵y1、y2可取一切不相等的正数，

∴的取值范围是（2，+∞）。

解：（1）时，

又

所以切线方程为。

（2）①当时，

则

令，

再令

当时，

∴在上递减

∴当时，

∴

所以在上递增

所以

②时，

则

由①知当时，，h（x）在上递增

当时，，

所以在上递增

∴

∴

由①及②知。

解：（1）由已知，h'（x）=2ax+b，其图象为直线，且过（0，-8），（4，0）两点，

所以，h'（x）= 2x-8

则，解得

所以

所以

所以f'（3）=0，

即函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0。

（2）由（1）知

因为x>0

所以x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）的单调增区间为（0，1）和（3，+∞），单调减区间为（1，3）

要使函数f（x）在区间上是单调函数，

则，解得。

（3）由题意，-x≥f（x）在x∈（0，6]上恒成立

得

在x∈（0，6]上恒成立

即在x∈（0，6]上恒成立

设

则c≤g（x）min

因为x>0，

所以当时，g '（x）>0，g（x）为增函数

当或x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数

所以g（x）的最小值为和g（6）中的较小者

因为

所以

又已知c＜3

所以c≤6-6ln6。

解：（Ⅰ），，．

当时，．又．                      

则在处的切线方程为．                    

（Ⅱ）函数的定义域为．

当时，，所以．

即在区间上没有零点．                            

当时，，

令．                                        

只要讨论的零点即可．，．

当时，，是减函数；

当时，，是增函数．

所以在区间最小值为．                  

显然，当时，，所以是的唯一的零点；

当时，，所以没有零点；

当时，，所以有两个零点．

解：(Ⅰ)当m=2时，，

则f′(x)=x2-4x+3，

故f′(0)=3，函数y=f(x)的图象在点(0，0)处的切线方程为y=3x；

(Ⅱ)f′(x)=，

当，又m＞0，即时，f′(x)≥0，

则函数y=f(x)在(-∞，+∞)上是增函数；

当，又m＞0，即时，

由f′(x)＞0，得，

由f′(x)＜0，得，

故函数f(x)在区间上是增函数，

在区间上是减函数；

(Ⅲ)因为函数f(x)既有极大值，又有极小值，

则f′(x)==0有两个不同的根，

则有Δ=4m2-6m＞0，

又m＞0，∴，

令g(x)=f(x)-，

g′(x)=x2-4mx+3m2=0x=m，或x=3m，

∴g′(x)＞0x＜m或x＞3m，g′(x)＜0m＜x＜3m，

∴g(x)在[0，m)，(3m，4m]上为增函数，在(m，3m)上为减函数，

∴，g(3m)=0为g(x)的极值，

又g(0)=0，g(4m)=，

∴g(x)最大值为，

∴，

即m的取值范围为。