热门试卷

解：(Ⅰ)由函数f(x)的图象过原点得b=0，

又f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)，

f(x)在原点处的切线斜率是-3，

则-a(a+2)=-3，所以a=-3或a=1．

(Ⅱ)由f′(x)=0，得，

又f(x)在区间（-1，1）上不单调，即或，

解得或，

所以a的取值范围是。

解：(Ⅰ)当a=1，b=2时，因为f′(x)=（x-1）（3x-5），

故f′(2)=1，

又f(2)=0，

所以f(x)在点(2，0)处的切线方程为y=x-2．

(Ⅱ)证明：因为，

由于a＜b，故，

所以f（x）的两个极值点为，

不妨设，

因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f(x)的零点，故x3=6，

又因为，，

此时依次成等差数列，

所以存在实数x4满足题意，且。

（1）f'（x）=3ax2+2bx-3，依题意，f'（1）=f'（-1）=0，

即，解得a=1，b=0．

∴f（x）=x3-3x．（4分）

（2）f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），

∵曲线方程为y=x3-3x，

∴点A（1，m）不在曲线上．

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03-3x0．

∵f'（x0）=3（x02-1），

∴切线的斜率为3(-1)=，

整理得2x03-3x02+m+3=0．（8分）

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x0方程2x03-3x02+m+3=0有三个实根．

设g（x0）=2x03-3x02+m+3，

则g'（x0）=6x02-6x0，

由g'（x0）=0，得x0=0或x0=1．（12分）

∴函数g（x0）=2x03-3x02+m+3的极值点为x0=0，x0=1．

∴关于x0方程2x03-3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是g（1）g（0）＜0，

即（m+3）（m+2）＜0，解得-3＜m＜-2．

故所求的实数a的取值范围是-3＜m＜-2．

（Ⅰ）因为f'（x）=（e-x）'=-e-x，

所以切线l的斜率为-e-1，

故切线l的方程为y-e-t=-e-t（x-t）．

即e-tx+y-e-1（t+1）=0

（Ⅱ）令y=0得x=t+1，

又令x=0得y=e-t（t+1）

所以S（t）=(t+1)•e-1(t+1)

=(t+1)2e-1

从而S′(t)=e-1(1-t)(1+t).

∵当t∈（0，1）时，S'（t）＞0，

当t∈（1，+∞）时，S'（t）＜0，

所以S（t）的最大值为S（1）=．

解：（Ⅰ），

当x∈和x∈时，f′（x）＜0；

当x∈和x∈时，f′（x）＞0；

因此，f（x）在区间和是减函数，

f（x）在区间和是增函数。

（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，f（x0）），

由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，

因此，f（x0）=x0f′（x0），

即：x04-3x02+6-x0（4x03-6x0）=0，

整理得（x02+1）（x02-2）=0，解得或，

因此切线l的方程为或。

解：由，

求导得，f′(x)=a2x2-2ax，

(Ⅰ)当a=1时，f′(1)=-1，f(1)=0，

所以f(x)在点(1，f(1))的切线方程是y=-x+1；

(Ⅱ)令f′(x)=0得x1=0，，

(1)当即a＞2时，

故f(x)的极大值是，极小值是；

(2)当即0＜a≤2时，f(x)在(-1，0)上递增，在(0，1)上递减，

所以f(x)的极大值为，无极小值；

(Ⅲ)设F(x)=f(x)-g(x)，

对F(x)求导，得F′(x)=a2x2-2ax+a=a2x2+a(1-2x)，

因为，a＞0，所以F′(x)=a2x2+a(1-2x)＞0，

F(x)在区间上为增函数，则，

依题意，只需F(x)max＞0，

即，即a2+6a-8＞0，

解得(舍去)，

所以正实数a的取值范围是。

解：(Ⅰ)，

设函数与的图象有公共点为，

由题意，得，

解得：。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，

所以，，

即，①

当时，lnx＜0，∴x-lnx＞0，

当时，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，

∴x-lnx＞0，

所以，则由①式可得在[，e]上恒成立，

设，

又，

令，得x=1，

又lnx≤1，

∴，

所以，当时，；

当时，，

所以，函数F（x）在上为减函数，在上为增函数，

又，

故，

所以，实数a的取值范围是。

解:(1)∵ ， 得

是以2为首项，1为公差的等差数列，

故        

(2) ∵，

，

在点处的切线方程为

令得

∴仅当时取得最小值，

∴的取值范围为

(3)  

 所以

又因

则

显然                                      

∵

解：

（1）()=-+，()=0，∴=-1，

()==0 ，1=-（舍去），2=1，

∴函数()的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)。

（2） 假设存在点M满足条件,则()=,整理得:=,

令=(0,1),则问题转化为方程:=有根,

设g(t)=-,(t)=>0,

∴函数g(t)为(0,1)上的单调递增函数,且g(1)=㏑1-0=0,∴g(t)<0,

所以不存在t使方程=成立,即不存在点满足题意。