- 变化率与导数
- 共3697题
有下列命题:
①若f(x)存在导函数,则f′(2x)=[f(2x)]′.
②若函数h(x)=cos4x-sin4x,则h′()=1;
③若函数g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2009)(x-2010),则g′(2010)=2009!.
④若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,则“a+b+c=0”是“f(x)有极值点”的充要条件.
其中真命题的序号是______.
正确答案
①中f(2x)为复合函数,故其导数为f′(2x)×(2x)′=2f′(2x),①为假命题;
②h(x)=cos4x-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)=cos2x-sin2x=cos2x,
h′(x)=-2sin2x,所以h′()=-2sin
=-1,②为假命题
③g(x)=[(x-1)(x-2)…(x-2009)](x-2010),
∴g′(x)=[(x-1)(x-2)…(x-2009)]′(x-2010)+[(x-1)(x-2)…(x-2009)](x-2010)′
=[(x-1)(x-2)…(x-2009)]′(x-2010)+(x-1)(x-2)…(x-2009)
∴g′(2010)=…=2009!,故③为真命题;
④f′(x)=3ax2+2bx+c,f(x)有极值点⇔f′(x)=0有两个不等实根⇔△=4b2-12ac>0,故命题④为假命题.
故答案为:③
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx(abc≠0).
(1)证明:只要a<0,无论b取何值,函数g(x)在定义域内不可能总为增函数;
(2)在同一函数图象上任意取不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点为C(x0,y0),记直线AB的斜率为k,
①对于二次函数f(x)=ax2+bx+c,求证:k=f′(x0);
②对于“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx,是否有①同样的性质?证明你的结论.
正确答案
(1)如果x>0,g(x)为增函数,则
g′(x)=2ax+b+=
>0(i)恒成立.
∴2ax2+bx+c>0(ii)恒成立
∵a<0,由二次函数的性质,(ii)不可能恒成立
则函数g(x)不可能总为增函数.
(2)①对于二次函数:
k==
=2ax0+b
由f′(x)=2ax+b故f′(x0)=2ax0+b
即k=f′(x0)
(2)②
不妨设x2>x1,对于伪二次函数g(x)=ax2+bx+clnx=f(x)+clnx-c,
k==
如果有①的性质,则g′(x0)=k
∴=
,c≠0
即∴=
,
令t=,t>1,则
=
设s(t)=lnt-,则s′(t)=
-
=
>0
∴s(t)在(1,+∞)上递增,
∴s(t)>s(1)=0
∴g′(x0)≠k∴“伪二次函数“g(x)=ax2+bx+clnx不具有①的性质.
定义y=log1+xf(x,y),f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0)
(1)比较f(1,3)与f(2,2)的大小;
(2)若e<x<y,证明:f(x-1,y)>f(y-1,x);
(3)设g(x)=f(1,log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C,曲线C在x0处的切线斜率为k,若x0∈(1,1-a),且存在实数b,使得k=-4,求实数a的取值范围.
正确答案
(1)由定义知f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0)
∴f(1,3)=(1+1)3=8,f(2,2)2=9∴f(1,3)<f(2,2).
(2)f(x-1,y)=xy,f(y-1,x)=yx
要证f(x-1,y)>f(y-1,x),只要证xy>yx
∵xy>yx⇔ylnx>xlny⇔>
令h(x)=,则h′(x)=
,当x>e时,h'(x)<0
∴h(x)在(e,+∞)上单调递减.
∵e<x<y∴h(x)>h(y)即>
∴不等式f(x-1,y)>f(y-1,x)成立.
(3)由题意知:g(x)=x3+ax2+bx+1,且g'(x0)=k
于是有3x02+2ax0+b=-4在x0∈(1,1-a)上有解.
又由定义知log2(x03+ax02+bx0+1)>0即x03+ax02+bx0>0
∵x0>1∴x02+ax0>-b
∴x02+ax0>3x02+2ax0+4即ax0<-2(x02+2)
∴a<-2(x0+)在x0∈(1,1-a)有解.
设V(x0)=x0+,x0∈(1,1-a)
①当1-a>即a<1-
时,V(x0)=x0+
≥2
.
当且仅当x0=时,V(x0)min=2
∴当x0=时,-2(x0+
)max=-4
∴a<-4
.
②当1<1-a≤时,即1-
≤a<0时,V(x0)=x0+
在x0∈(1,1-a)上递减,
∴x0+>1-a+
.∴a<-2[(1-a)+
]整理得:a2-3a+6<0,无解.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-4).
设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
正确答案
(Ⅰ)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b.
由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),
所以f(1)=-11,f′(1)=-12,即:
1-3a+3b=-11解得:a=1,b=-3.
3-6a+3b=-12
(Ⅱ)由a=1,b=-3得:f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3)
令f′(x)>0,解得x<-1或x>3;
又令f′(x)<0,解得-1<x<3.
故当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数,
当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数,
但当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.
对于函数f(x)=有下列命题:
①在该函数图象上一点(-2,f(-2))处的切线的斜率为-;
②函数f(x)的最小值为-;
③该函数图象与x轴有4个交点;
④函数f(x)在(-∞,-1]上为减函数,在(0,1]上也为减函数.
其中正确命题的序号是______.
正确答案
x≤0时,f(x)=2xex,f′(x)=2(1+x)ex,故f′(-2)=-,①正确;
且f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,故x≤0时,f(x)有最小值f(-1)=-,
x>0时,f(x)=x2-2x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故x>0时,f(x)有最小值f(1)=-
>-
故f(x)有最小值-,②④正确;因为x<0时,f(x)恒小于0,且f(x)=0,故该函数图象与x轴有3个交点,③错误;
故答案为:①②④
设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12。
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。
正确答案
解:(1)∵为奇函数,
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此,
∴,
,
。
(2)
∴,列表如下:
所以函数的单调增区间是
和
∵,
,
∴在
上的最大值是
,最小值是
。
设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d,(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-.
(Ⅰ)求a,b,c,d的值;
(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使两点处的切线互相垂直?试证明你的结论;
(Ⅲ)若x1,x2∈[-1,1],求证:|f(x1)-f(x2)|≤.
正确答案
(I)因为图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以b=0,d=0
所以f(x)=ax3+cx,因此f'(x)=3ax2+c
由题意得,
解得a=,c=-
(II)不存在.
证明:假设存在x1,x2,则f'(x1)•f'(x2)=-1
所以(x12-1)(x22-1)=-4
因为x1,x2∈[-1,1]所以x12-1,x22-1∈[-1,0]
因此(x12-1)(x22-1)≠-4
所以不存在.
(III)证明:f′(x)=x2-
由f′(x)=x2-
=0得x=±1fmin(x)=f(1)=-
,fmax(x)=f(-1)=
所以|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(1)=<
已知函数f(x)=ax3﹣bx2的图象过点P(﹣1,2),且在点P处的切线恰与直线x﹣3y=0垂直.则函数f(x)的解析式为( )
正确答案
f(x)=x3+3x2
已知点P(2,2)在曲线y=ax3+bx上,如果该曲线在点P处切线的斜率为9,那么(i)ab=______;
(ii)函数f(x)=ax3+bx,x∈[-,3]的值域为______.
正确答案
(1)点P(2,2)在曲线y=ax3+bx
则:8a+2b=2
∵y'=3ax2+b
∴当x=2 时,12a+b=9
联立得:a=1,b=-3∴ab=-3
(2)由(1)知y=x3-3x
∴y'=3x2-3,令3x2-3=0,x=±1
∵f(1)=1-3=-2,f(-1)=-1+3=2,f(3)=27-9=18,f(-)=-
+
=
∴y=x3-3x在x∈[-,3]的最大值为18,最小值为-2,即值域为[-2,18]
故答案为:-3,[-2,18].
设函数f(x)=,若该函数在实数集R上可导,求实数a、b的值和该函数的最小值.
正确答案
依题意f'(1)=2+a=1,且f(x)=f(1)=1+a,
∴a=b=-1,
∴f(x)=,
当x>1时,f(x)>0,
当x≤1时,f(x)=x2-x=(x-)2-
≥-
,
∴可得函数的最小值是f()=-
.
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