热门试卷

由已知可得C2n3=C2n5，

所以3+5=2n，即n=4．

所以展开式中的通项为Tr+1=C8rx8-2r，

若它为常数项，则r=4，所以T5=C84=70．即常数项为70．

方法1：二项式定理

证明：32n+2-8n–9=9n+1-8n–9=（8+1）n+1-8n–9                    ………………………………4分

=8n+1＋·8n＋…＋·82＋·8＋-8n-9

=82（8n-1+8n-2+…+）+8（n+1）+1-8n-9…………………8分

=64（8n-1+8n-2+…+）            …………………………………10分

∵8n-1+8n-2+…+∈Z，

∴32n+2-8n–9能被64整除．                                         …………………………………12分

方法2：数学归纳法

（1）当n=1时，式子32n+2-8n–9=34-8-9=64能被64整除，命题成立．………………2分

（2）假设当n=k时，32k+2-8k-9能够被64整除．      ………………………………4分

当n=k+1时，

32k+4-8（k＋1）-9

=9[32k+2-8k-9]＋64k＋64

＝9[32k+2-8k-9]＋64（k＋1）                                     …………………………………8分

因为32k+2-8k-9能够被64整除，

∴9[32k+2-8k-9]＋64（k＋1）能够被64整除．                    …………………………………10分

即当n=k+1时，命题也成立．

由（1）（2）可知，32n+2-8n–9（n∈N*）能被64整除．……………………………12分

略

（1）， （2）.

试题分析：（1）注意到，只需求出代入相应位置，整理即可得到其值，但要注意二项式定理及二项式系数和的应用；（2）此小题中，则，以下采用构造关系式，应用导数法与赋值法求得其值.

试题解析：⑴，所以；

⑵，，

因为，

两边同乘以，则有，

两边求导，左边，

右边，

即（*），

对（*）式两边再求导，得

取，则有

所以.

（1）90x6，270（2）405

解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.

又展开式中二项式系数和为2n，

∴22n－2n＝992，n＝5.

(1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝()3(3x2)2＝90x6，T4＝()2(3x2)3＝270.

(2)设展开式中第r＋1项系数最大，

则Tr＋1＝()5－r(3x2)r＝3r，

∴≤r≤，∴r＝4，

即展开式中第5项系数最大，T5＝()(3x2)4＝405.