· 排列与组合

· 二项式定理与性质

二项式定理与性质
共3428题

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题型：简答题

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简答题

若=12（n∈N），且(2-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，求：

（1）n的值

（2）a1+a2+…+an

（3）（2-x）n的展开式中所有偶数项系数的和．

正确答案

（1）由题意可把原方程变形为=12，可解出n=7或n=14．

又因为n满足：所以2≤n≤9，∴n=7．…（4分）

（2）令x=1得a0+a1+a2+…an=1．

令x=0得a0=27=128，∴a1+a2+…+an=-127．…（8分）

（3）所有偶数项系数之和即为：a1+a3+a5+a7

令x=1得a0+a1+a2+…an=1．

令x=-1得a0-a1+a2-…-a7=37

联立两式解出偶数项的系数和为 a1+a3+a5+a7==-1093．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

在（2x-3y）10的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（3）奇数项系数和与偶数项系数和．

正确答案

（1）（2x-3y）10的二项式系数和为+…+=（1+1）10=210；

（2）由于奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，

所以，奇数项的二项式系数和为++…+=29，

偶数项的二项式系数和为++…=29．

（3）设（2x-3y）10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，

令x=y=1，得到a0+a1+a2+…a10=1①，

令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）得a0-a1+a2-a3+…+a10=510②，

①+②得2（a0+a2+…a10）=1+510，∴奇数项的系数和为，

①-②得2（a1+a3+a9）=1-510，

∴偶数项的系数和为．

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题型：填空题

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填空题

(+1)n的展开式中，只有第六项的系数最大，则x4的系数是______．

正确答案

根据题意因为只有第六项的系数最大

则第六项为中间项，故展开式共11项，即n=10

那么x4的系数为C102=45，

故答案为45．

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题型：填空题

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填空题

（1+x3）（1-x）10的展开式中，x5的系数是______．

正确答案

根据题意，（1+x3）（1-x）10的展开式中每一项为（1+x3）中的一项与（1-x）10的展开式中一项的乘积，

而（1-x）10的展开式的通项为Tr+1=C10r•（-x）r=（-1）rC10r•xr，

要在（1+x3）（1-x）10的展开式出现x5项，有两种情况，

①、若（1+x3）中出1，则（1-x）10中必须出x5项，则此时x5项的系数为-C105，

②、若（1+x3）中出x3项，则（1-x）10中必须出x2项，则此时x5项的系数为C102，

则在（1+x3）（1-x）10的展开式中，x5的系数是-C105+C102=-252+45=-207；

故答案为-207．

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题型：简答题

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简答题

（理科加试题）若二项式(+)n的展开式中的常数项为第五项．

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数最大的项．

正确答案

（1）∵Tr+1=()n-r()r，

x的指数为-+=0，

∵(+)n的展开式中的常数项为第五项，

∴r=4，

解得：n=10．　

（2）∵Tr+1=()10-r()r，

其系数为C10r•210-r．

设第k+1项的系数最大，则

化简得：即≤k≤，

∴k=3，

即第四项系数最大，T4=•27•x-56=15360x-56．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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