- 二项式定理与性质
- 共3428题
已知在(x
x
-
1
x3
)n的展开式中，第4项是常数项．
（1）求第6项的二项式系数；
（2）若Cnr-1=Cn3r-2，求r的值．
正确答案
展开式的第四项T4=
x
)n-3(-
1
x3
)3=-
由已知，
（1）第6项的二项式系数C95=
（2）根据二项式系数性质，可得r-1=3r-2，或r-1+3r-2=9 解得r=
已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．
（1）求x2的系数取最小值时n的值．
（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．
正确答案
（1）由已知Cm1+2Cn1=11，∴m+2n=11，
x2的系数为Cm2+22Cn2=
∵m∈N*，∴m=5时，x2的系数取得最小值22，
此时n=3．
（2）由（1）知，当x2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）5+（1+2x）3．
设这时f（x）的展开式为
f（x）=a0+a1x+a2x2++a5x5，
令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33，
令x=-1，a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1，
两式相减得2（a1+a3+a5）=60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．
已知（
正确答案
∵（
∴当x=1有a0+a1+a2+a3+…+a999=(
5
-2)999，
当x=-1有a0-a1+a2-a3+…-a999=(
5
+2)999，
∴（a0+a2+a4+…+a999）2-（a1+a3+a5+…+a999）2的=（a0+a1+a2+a3+…+a999）（a0-a1+a2-a3+…-a999）=(
5
-2)999•(
5
+2)999=[(
5
-2)(
5
+2)]999=1．
故答案为：1．
设n为奇数，则7
正确答案
由于n为奇数，7
+…+
显然，除了最后2项外，其余的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数．
而最后2项的和为-2，它除以9的余数为7，
故答案为 7．
若(x2-
正确答案
通项Tr+1=（-1）rC9r•a-rx18-3r，
当18-3r=9时，r=3，
所以系数为-C93•a-3=-
故答案为：2
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