- 二项式定理与性质
- 共3428题
若(
x
+
1
2x
)n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为______．
正确答案
因为(
x
+
1
2x
)n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，
所以
1
2
)2=
故答案为：8．
二项式(
6x
+
1
2
x
)n展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于______．
正确答案
展开式的通项为Tr+1=(
1
2
)r
前三项的系数为1，
∴n=1+
解得n=8
所以展开式的通项为Tr+1=(
1
2
)r
令
所以展开式的常数项为(
1
2
)2×
故答案为：7
若（2-x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则log2a0+log2a8-log245=（ ）。
正确答案
12
（理）二项式（x3+
（文）已知x＞0，y＞0，x+y=1，求lgx+lgy的最大值是______．
正确答案
（1）由题意，n=10，Tr+1=
1
x2
)r=
令30-5r=0，∴r=6
∴展开式中的常数项为T7=C106=210
（2）∵x＞0，y＞0，x+y=1∴xy≤(
x+y
2
)2=
又 lgx+lgy=lg(xy)≤lg(
x+y
2
)2=lg
故答案为：210；-2lg2．
请先阅读：
设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=
（Ⅱ）当整数n≥3时，求
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2
正确答案
（Ⅰ）证明：在等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn
两边对x求导得n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1
移项得n[(1+x)n-1-1]=2
（Ⅱ）当整数n≥3时，n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1中，令x=-1，可得
（Ⅲ）证明：当整数n≥3时，∵n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1，
求导函数，可得（n-1）n（1+x）n-2=+2Cn2+…+n（n-1）Cnnxn-2，
令x=-1，可得2
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