- 二项式定理与性质
- 共3428题
设an是fn（x）=（1+x）n+1（n∈N*）的展开式中xn项的系数，则an=______；数列{an}的前n项和为______．
正确答案
∵an是fn（x）=（1+x）n+1（n∈N*）的展开式中xn项的系数
∴an=Cn+1n=n+1
∴数列{an}的前n项和为2+3+4+…+n+1=
故答案为an=Cnn+1；
设数列{an}为等比数列，a1=C2m+33mAm-21，公比q是(x+
（1）确定m的值
（2）用n，x表示通项an与前n项和Sn；
（3）记 An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn
①证明，当x=1时，An=n×2n-1
②当x≠1时，用n，x表示An．
正确答案
（1）由a1=
∴m=3，
（2）a1=
又(x+
1
4x2
)4 展开式中第2项T2=
∴an=xn-1，
∴Sn=
（2）由Sn表达式引发讨论：
（Ⅰ）当x=1时，Sn=n，此时An=
又An=n
∴①+②得2An=n（
∴An=n•2n-1．
（Ⅱ）当x≠1时，Sn=
=
=
=
已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8=______．
正确答案
因为令x=1得 a0+a1+a2+…+a8=510，又令x=0可得a0=8，
∴a1+a2+a3+…+a8=502，
故答案为502．
求和W=
正确答案
∵an=3n+1为等差数列，∴a0+an=a1+an-1=…，
而
∵W=
=(3n+1)
∴W=(3n+1)
①+②得2W=(3n+2)(
∴W=（3n+2）×2n-1．
已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N*）
（1）求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+nan；
（2）试比较Sn与n3的大小，并说明理由．
正确答案
（1）取x=1，可得 a0=2n． …（1分）
对等式两边求导，得n(x+1)n-1=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+…+nan(x-1)n-1，
取x=2，则Sn=a1+2a2+3a3+…+nan=n•3n-1． …（4分）
（2）要比较Sn与n3的大小，即比较：3n-1与n2的大小，
当n=1，2时，3n-1＜n2； 当n=3时，3n-1=n2； 当n=4，5时，3n-1＞n2． …（6分）
猜想：当n≥4时，3n-1＞n2，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k-1＞k2，
当n=k+1时，3（k+1）-1=3•3k-1＞3k2．
而3k2-（k+1）2=2k2-2k-1=2k（k-1）-1≥2×4×3-1=23＞0，
∴3（k+1）-1＞3•3k-1＞3k2＞（k+1）2，故当n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3n-1＞n2成立． …（11分）
综上得，当n=1，2时，Sn＜n2； 当n=3时，Sn=n2；当n≥4，n∈N*时，Sn＞n2．…（12分）
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