热门试卷

（1）∵{an}为常数列，且首项为1，故有an=1，

∴f（4）=+++=15．

（2）若{an}为公比为2的等比数列，则an=2n-1，（n∈N+）．

f(n)=a1+a2+…+ak+…+an=+21+…+2k-1+…+2n-1，

故1+2f（n）=1++22+…+2k+…+2n=（1+2）n=3n，

∴f（n）=．

（3）假设数列{an}能否成等差数列，使得f（n）-1=（n-1）2n对一切n∈N+都成立．

设公差为d，则 f(n)=a1+a2+…+ak+…+an ①，

且 f(n)=an+an-1+…+an-k+…+a1  ②，

把①、②相加可得 2f（n）=2an+（a1+an-1）（+++…+）

∴f（n）=an+（+++…+） 

=an+（2n-2）=1+（n-1）d+[2+（n-2）d]（2n-1-1）．

∴f（n）-1=（d-2）+[2+（n-2）d]]•2n-1=（n-1）2n 恒成立．

即 （d-2）+（d-2）•[n+2]•2n-1=0 n∈N+都成立，∴d=2，

故存在数列{an}使得f（n）-1=（n-1）2n对一切n∈N+都成立，且通项公式为an=2n-1．（其它方法相应给分）