· 排列与组合

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二项式定理与性质
共3428题

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题型：简答题

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简答题

已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。

（1）用a和n表示f（n）；

（2）求对所有n都有成立的a的最小值；

（3）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由。

正确答案

解：（1）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，

∴A（）对求导得y′=-2x

∴抛物线在点A处的切线方程为，

∴

∴f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，

∴f（n）=an；

（2）由（1）知f（n）=an，则成立的充要条件是an≥2n+1

即知，an≥2n+1对所有n成立，

特别的，取n=1得到a≥3

当a=3，n≥1时，an=3n=（1+2）n≥1+=2n+1

当n=0时，an=2n+1

∴a=3时，对所有n都有成立

∴a的最小值为3；

（3）由（1）知f（k）=ak，

下面证明：＞

首先证明：当0＜x＜1时，

设函数g（x）=6x（x2-x）+1，0＜x＜1，

则g′（x）=18x（x-）

当0＜x＜时，g′（x）＜0；

当时，g′（x）＞0

故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=＞0

∴当0＜x＜1时，g（x）＞0，

∴

由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此，

从而

=＞6（a+a2+…+an）

==。

1

题型：填空题

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填空题

已知a=2cos（x+）dx，则二项式（x2+）5的展开式中x的系数为______．

正确答案

∵a=2cos（x+）dx=2sin（x+）=2sin（π+）-2sin=-2，

∴二项式（x2+）5=（x2-）5，

∴Tr+1=(x2)5-r(-2)-rx-r=(-2)rx10-3r，

令10-3r=1，可得r=3，

∴二项式（x2+）5的展开式中x的系数(-2)3=-80；

故答案为：-80；

1

题型：填空题

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填空题

设a=(sinx+cosx)dx，则二项式(ax-)6的展开式中常数项是______．

正确答案

∵a=（sinx+cosx）dx=（-cosx+sinx）=2，

∴设(2x-

1

x

)6的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=•2r•（-1）6-r•xr-（6-r），

由6-2r=0得：r=3．

∴(2x-

1

x

)6的展开式中的常数项是T4=•23•（-1）3=-160．

故答案为：-160．

1

题型：填空题

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填空题

若a=，则在（3x2-）5的二项展开式中，常数项为（）。

正确答案

1

题型：填空题

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填空题

已知a=（sint+cost）dt，则（x-）6的展开式中的常数项为（）。

正确答案

-

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