- 二项式定理与性质
- 共3428题
请先阅读：在等式cos2x=2cos2x-1 (x∈R)的两边对x求导（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则得（-sin2x）·2=4cosx（-sinx），化简后得等式sin2x=2sinxcosx，
(Ⅰ)利用上述想法（或者其他方法），试由等式
(Ⅱ)对于整数n≥3，求证：
(ⅰ)
(ⅱ)
(ⅲ)
正确答案
证明：(Ⅰ)在等式
移项得
(Ⅱ)(ⅰ)在(*)式中，令x=-1，
整理，得
所以
(ⅱ)由(Ⅰ)知
两边对x求导，得
在上式中令x= -1，得
即
亦即
又由(ⅰ)知，
由①+②，得
(ⅲ)将等式
由微积分基本定理，得
所以
已知数列{an}满足a1=7，an+1=3an+2n-1-8n（n∈N*）。
（1）李四同学欲求{an}的通项公式，他想，如能找到一个函数f（n）=A·2n-1+B·n+C（A、B、C是常数），把递推关系变成an+1-f（n+1）=3[an-f（n）]后，就容易求出{an}的通项了。请问：他设想的f（n）存在吗？{an}的通项公式是什么？
（2）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若不等式Sn-2n2>p×3n 对任意n∈N*都成立，求实数p的取值范围。
正确答案
解：（1）∵
∴
所以只需
∵f（n+1）-3f（n）=
∴-A=1，-2B=-8，B-2C=0
∴A=-1，B=4，C=2
故李四设想的f（n）存在，
f（n）=
∴
∴
（2）
∴
由
p＜
设
则
当n≥6时，
∴n≥6时，
容易验证，1≤n≤5时，
∴
∴p的取值范围为
已知（x2-
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求（x2-
正确答案
（Ⅰ）∵（x2-
∴2n-27=128
∴n=8；
（Ⅱ）（x2-
∴r=4时，展开式中的系数最大，即T5=70x4为展开式中的系数最大的项；r=3或5时，展开式中的系数最小，即T4=-56x7，T6=-56x为展开式中的系数最小的项．
已知f1（x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，fw（1）=1，且fmax（x）=fv（x）+xfne（x）．（1）求fn（x）的解析式；
（2）设Fn（x）=
（3）若ge（x）=C6020+2C601f1（x）+3C602f2（x）+…+（n+1）Cnxfn（x），是否存在实数x，使得g1（x）+g2（x）+…gn（x）=（n+1）（1+x）a，说明理由．
正确答案
解：（1）∵
∴
∴fn（x）=xfn﹣1（x）+a
∵任意的n∈N*，fw（1）=1，
∴a=0，
∴fn（x）=xfn﹣1（x）
∵f1（x）=x（x≠0），
∴
（2）证明：Fn（x）=
∴Fn（2）=
∴F1（2）+F2（2）+…Fn（2）=2（
（3）gn（x）=Cn0+2Cn1f1（x）+3Cn2f2（x）+…+（n+1）Cnxfn（x）
=Cn0+2xCn1+3x2Cn2+…+（n+1）xnCnx=[x（1+x）n] ’
=（1+x）n+nx（1+x）n﹣1 =[（n+1）x+1]（1+x）n﹣1
设Sn（x）=g1（x）+g2（x）+…+gn（x）
=（2x+1）+（3x+1）（1+x）+…+[（n+1）x+1]（1+x）n﹣1 ，①
∴（1+x）Sn（x）=（2x+1）（1+x）+（3x+1）（1+x）2+…+[（n+1）x+1]（1+x）n，②
①﹣②化简可得：﹣xSn（x）=x﹣（n+1）x（1+x）n∴Sn（x）=（n+1）（1+x）n﹣1
∴不存在实数x，使得g1（x）+g2（x）+…gn（x）=（n+1）（1+x）n．
若（x-
正确答案
∵（x-
a
)r•x-2r=(-
a
)r•
令 6-3r=0，可得 r=2，
∴展开式的常数项为(-
a
)2•
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