- 二项式定理与性质
- 共3428题
杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14与第15个数的比为
（3）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m、k（m，k∈N×）的数学公式表示上述结论，并给予证明．
正确答案
（1）C203=1140
（2）由
（3）1+2+22+…+2n=2n+1-1
（4）Cm-1m-1+Cmm-1+…+Cm+k-2m-1=Cm+k-1m
证明：左式=Cm-1m-1+Cmm-1+…+Cm+k-2m-1
=Cmm+Cmm-1+…+Cm+k-2m-1
Cm+1m+Cm+1m-1+…+Cm+k-2m-1
=…=Cm+k-2m+Cm+k-2m-1=右式
在（1-x2）10的展开中，x4的系数为 ______．
正确答案
（1-x2）10展开式即是10个（1-x2）相乘，
要得到x4，则取2个1-x2中的（-x2）相乘，其余选1，
则系数为C102×（-x2）2=45x4，故系数为45．
故答案为45．
二项式(
（1）n；
（2）展开式中的所有的有理项．
正确答案
（1）展开式的通项为Tr+1=(-
1
2
)r
据题意有Cn4=4Cn2
解得n=6
（2）展开式的通项为Tr+1=(-
1
2
)r
1
2
)r
当r是3的倍数时，为有理项
所以r=0，3，6
T1=x-2，T4=-
若（1+2x）2（1-x）5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6=______．
正确答案
令x=-1，得（1-2）2（1+1）5=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32，
令x=1，得（1+2）2（1-1）5=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0
两式相加得：a0+a2+a4+a6=16
故答案是16．
若（x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（x∈N*）且a1+a2=21，则在展开式的各项系数中，最大值等于______．
正确答案
由题意可知a1=Cn1，a2=Cn2，所以Cn1+Cn2=21，
即n+
即（n-6）（n+7）=0，解得n=6，（n=-7舍去）．
故展开式各项系数中最大值为C63=20．
故答案为：20．
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