二项式定理与性质
共3428题

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二项式定理与性质
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题型：简答题

简答题

已知（-）n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．

（1）求展开式中的常数项；

（2）求展开式中所有整式项．

正确答案

解：（1）由于二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=C•（）n-r•（）r•（-1）r，

∴前三项系数的绝对值分别为C，C，C，

由题意知C=C+C，∴n=1+n（n-1），n∈N*，解得n=8或n=1（舍去），

∴Tk+1=C•（）8-k•（-）k=C•（-）k•x4-k，0≤k≤8．

令4-k=0，求得k=4，∴展开式中的常数项为T5=C（-）4=．

（2）要使Tk+1为整式项，需4-k为非负数，且0≤k≤8，∴k=0，1，2，3，4．

∴展开式中的整式项为：x4，-4x3，7x2，-7x，．

解析

解：（1）由于二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=C•（）n-r•（）r•（-1）r，

∴前三项系数的绝对值分别为C，C，C，

由题意知C=C+C，∴n=1+n（n-1），n∈N*，解得n=8或n=1（舍去），

∴Tk+1=C•（）8-k•（-）k=C•（-）k•x4-k，0≤k≤8．

令4-k=0，求得k=4，∴展开式中的常数项为T5=C（-）4=．

（2）要使Tk+1为整式项，需4-k为非负数，且0≤k≤8，∴k=0，1，2，3，4．

∴展开式中的整式项为：x4，-4x3，7x2，-7x，．

题型：单选题

单选题

设a＞0，在二项式（a-）10的展开式中，含x的项的系数与含x4的项的系数相等，则a的值为（　　）

正确答案

解析

解：展开式的通项为Tr+1=C10ra10-r（-）r=（-1）rC10ra10-r

∵含x的项的系数与含x4的项的系数相等，

∴（-1）8C108a10-8=（-1）2C102a10-2，

∴a=1．

故选：A．

题型：填空题

填空题

若的展开式的常数项为84，则a的值为______．

正确答案

解析

解：由于的展开式为，令18-3r=0 求得r=6，

得其常数项为，即84a3=84，解得a=1，

故答案为 1．

题型：单选题

单选题

的展开式中x的系数是（　　）

A-3

B-4

正确答案

解析

解：∵=（x-1）4•，

∴的展开式中x的系数可由以下两部分确定：

①（x-1）4的展开式提供常数•（-1）0，展开式提供x，故这部分x的系数为•（-1）0×1=1；

②（x-1）4的展开式提供•（-1）1x，展开式提供常数1，故这部分x的系数为•（-1）1×1=-4；

∴的展开式中x的系数为：1-4=-3．

故选A．

题型：填空题

填空题

（1-2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是______．

正确答案

-120

解析

解：（1-2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是（1-2x）5展开式中x3项的系数的2倍与（1-2x）5展开式中x2项的系数的和

∵（1-2x）5展开式的通项为Tr+1=（-2）rC5rxr

令r=3得到x3项的系数为-8C53=-80

令r=2得到x2项的系数为4C52=40

所以（1-2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是-80×2+40=-120

故答案为-120

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