热门试卷

证明：构造函数y=lnx，

则y′=，（）′=-＜0，

即有函数y=lnx在（0，+∞）上是递增且上凸的函数，

由m，n＞0，且+=1，

则lnn+lnm≤ln（•n+•m）

=ln，

而-==≥0，

即有ln≤ln，

则有lnn+lnm≤ln，

即有≥成立．

证明：∵n＜＜n+1，

∴1+2+…+n＜+++…+＜2+3+…+n+1，

∴＜+++…+＜＜（n+1）3．

∴＜an＜（n+1）3．

解：（1）由Sn=2n-an（n∈N*），

可得a1=S1=2-a1，可得a1=1，

a2=S2-S1=4-a2-1，可得a2=，

a3=S3-S2=6-a3-，可得a3=，

a4=S4-S3=8-a4-，可得a4=，

猜想得到an=，

由数学归纳法可得．

当n=1时，a1=1，=1，成立；

设n=k时，ak=成立，

当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=2（k+1）-ak+1-2k+ak，

可得ak+1=（2+ak）=（2+）=，

即有n=k+1也成立．

综上可得an=，对n为一切非零自然数成立．

（2）证明：bn=2n-1an=2n-1，

即证1++++…+＜．

由＜-，

等价于：2k+1-2＜2k+1-1；

所以：①当n=1时，原不等式成立，

②当n≥2时，1+++…+≤1+（-）+（-）+…+（-）

=1+-=-＜．

即有不等式成立．

证明：（I）由（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≥0，

即有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≥0，

即为a2+b2+c2≥ab+bc+ca；

（II）由a＞0，b＞0，且a+b=1，

可得=4，

当且仅当a=b=，取得等号．

证明：因为a＞b＞0，要证，

只需证明．…..…．（4分）

即证．…（7分）

即证，即．

由已知，显然成立．…..（10分）

故成立．…．（12分）

证明：（Ⅰ）∵a+b=1，

∴ab≤=，

∴≥4，∴++=+=≥8；

（Ⅱ）（1+）（1+）=+++1

由（Ⅰ）可知++≥8

∴+++1≥9，

∴（1+）（1+）≥9．

证明：由柯西不等式可得，

（2++）2≤（22+12+12）（x+1+2x-3+6-3x）

=6×4，

即有2++≤2＜8．

则≤x≤2时，不等式2++＜8．

证明：（1）+=+++=（+）+（+）≥2+2=4（当且仅当a=b，c=d时，取“=”），故+≥4．

（2）∵a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1，

∴++≤++=3（当且仅当a=b=c=时等号成立）．

证明：（1）假设、、可能成等差数列．…（2分）

则，

两边平方，得20=10+2，…（5分）

即，

则25=21，显然等式不成立．…（8分）

故、、不可能成等差数列．…（10分）

（2）要证|ax+by|≤1

需证|ax+by|2=a2x2+2abxy+b2y2≤1．…（14分）

∵x2+y2=1，a2+b2=1∴1=（x2+y2）（a2+b2）=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy…（19分）

故|ax+by|≤1．…（20分）