综合法与分析法_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知a+b+c=0，abc=2，求证：a，b，c中至少有一个不小于2．

正确答案

证明：由于a+b+c=0，

则a，b，c至少有一个为正数，

不妨设c＞0，则a+b=-c，

ab=，

将a，b看作是x2+cx+=0的两根，

则判别式△=c2-≥0，

即有c≥2．

则a，b，c中至少有一个不小于2．

解析

证明：由于a+b+c=0，

则a，b，c至少有一个为正数，

不妨设c＞0，则a+b=-c，

ab=，

将a，b看作是x2+cx+=0的两根，

则判别式△=c2-≥0，

即有c≥2．

则a，b，c中至少有一个不小于2．

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题型：单选题

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单选题

用反证法证明命题“自然数a，b，c中三个均为偶数”的反设（　　）

A全是奇数

B恰有一个偶数

C至少有一个偶数

D至多有两个偶数

正确答案

D

解析

解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，

而命题：“自然数a，b，c中三个均为偶数”的否定为：“至多有两个偶数”，

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

在解决问题：“证明数集A={x|2＜x≤3}没有最小数”时，可用反证法证明．假设a（2＜a≤3）是A中的最小数，则取，可得：，与假设中“a是A中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设是B中的最大数，则可以找到x‘=______（用m0，n0表示），由此可知x'∈B，x'＞x，这与假设矛盾！所以数集B没有最大数．

正确答案

解析

解：证明数集没有最大数”，可以用反证法证明．

假设是B中的最大数，则可以找到x‘=，

，n0+1＜m0+1，n0+1∈N*，m0+1∈N*，且x'＞x，

这与假设矛盾！所以数集B没有最大数．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

设f（x）=lnx，g（x）=f′（x）+lnx

（1）求g（x）的单调区间和最小值．

（2）讨论g（x）与的大小关系．

（3）是否存在x0＞0，使得对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围，若不存在，请说明理由．

正确答案

解（1）由题意可知：

∴

令g′（x）=0得x=1

∵0＜x＜1，g′（x）＜0x＞1，g′（x）＞0

∴x=1是g（x）的唯一极小值点

∴最小值为g（1）=1

（2）

设

则

当x=1时，F（1）=0即

当0＜x＜1时，F-1（x）＜0，F（1）=0

∴

即

当x＞1时，F-1（x）＜0，F（1）=0

∴

即

（3）假设∃x0＞0，使对∀x＞0

成立即

取

则lnx=g（x0）

这与lnx＜g（x0）矛盾

因此不存在x0＞0，使对任意x＞0成立．

解析

解（1）由题意可知：

∴

令g′（x）=0得x=1

∵0＜x＜1，g′（x）＜0x＞1，g′（x）＞0

∴x=1是g（x）的唯一极小值点

∴最小值为g（1）=1

（2）

设

则

当x=1时，F（1）=0即

当0＜x＜1时，F-1（x）＜0，F（1）=0

∴

即

当x＞1时，F-1（x）＜0，F（1）=0

∴

即

（3）假设∃x0＞0，使对∀x＞0

成立即

取

则lnx=g（x0）

这与lnx＜g（x0）矛盾

因此不存在x0＞0，使对任意x＞0成立．

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题型：单选题

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单选题

用反证法证明命题：“若a＞0，b＞0，a3+b3=2，则a+b≤2”时，反设正确的是（　　）

Aa+b≤2

Ba+b＜2

Ca+b≥2

Da+b＞2

正确答案

D

解析

解：∵“a+b≤2”的否定是“a+b＞2”，

∴用反证法证明命题：“若a＞0，b＞0，a3+b3=2，则a+b≤2”时，反设是“a+b＞2”．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数a，b，c中______”．

正确答案

三个数都是偶数

解析

解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，

而命题：“自然数a，b，c中至多有2个偶数”的否定为：“三个数都是偶数”，

故答案为：三个数都是偶数．

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题型：简答题

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简答题

求证：-是无理数．

正确答案

证明：假设是有理数，则不妨设=（m，n为互质正整数），

从而：（）2=3，m2=3n2，可见m是3的倍数．

设m=3p（p是正整数），则 3n2=m2=9p2，可见n 也是3的倍数．

这样，m，n就不是互质的正整数（矛盾）．

∴=不可能，

∴是无理数．

同理是无理数，

从而-是无理数．

解析

证明：假设是有理数，则不妨设=（m，n为互质正整数），

从而：（）2=3，m2=3n2，可见m是3的倍数．

设m=3p（p是正整数），则 3n2=m2=9p2，可见n 也是3的倍数．

这样，m，n就不是互质的正整数（矛盾）．

∴=不可能，

∴是无理数．

同理是无理数，

从而-是无理数．

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题型：简答题

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简答题

用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．

正确答案

证法一：假设圆的两条不是直径的相交弦能互相平分，

如图AB，CD为圆O的两条不是直径且互相平分的相交弦，交点为E

∵CE=DE，AE=BE，O为圆心

∴OE⊥CD，OE⊥AB

∴CD∥AB

显然与AB，CD矛盾，故假设不成立．

∴圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．

证法二：证明：假设AB，CD能互相平分

连接OE

∵AE=BE

∴OE⊥AB

同理OE⊥CD

因为这与过一点有且有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以假设错误，所以圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．

解析

证法一：假设圆的两条不是直径的相交弦能互相平分，

如图AB，CD为圆O的两条不是直径且互相平分的相交弦，交点为E

∵CE=DE，AE=BE，O为圆心

∴OE⊥CD，OE⊥AB

∴CD∥AB

显然与AB，CD矛盾，故假设不成立．

∴圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．

证法二：证明：假设AB，CD能互相平分

连接OE

∵AE=BE

∴OE⊥AB

同理OE⊥CD

因为这与过一点有且有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以假设错误，所以圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．

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题型：单选题

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单选题

设m>n,n∈N+,x>1,a=(lgx)m+(lgx)-m,b=(lgx)n+(lgx)-n,则a与b的大小关系为(　　)

Aa≥b

Ba≤b

C与x的值有关,大小不定

D以上都不正确

正确答案

A

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题型：单选题

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单选题

用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的．其假设应是（　　）

A至少有5个球是同色的

B至少有5个球不是同色的

C至多有4个球是同色的

D至少有4个球不是同色的

正确答案

C

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