热门试卷

证明：要证：+＞+成立，

需证：＞，

即证：3+5+2＞2+6+2，

即证：15＞12，该式显然成立，故原不等式成立．

证明：（1）由于（+）2=a+b+2，

（+）2=c+d+2，

由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，

则＞，

即有（+）2＞（+）2，

则+＞+；

（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，

即为a+b+2＞c+d+2，

由a+b=c+d，则ab＞cd，

于是（a-b）2=（a+b）2-4ab，

（c-d）2=（c+d）2-4cd，

即有（a-b）2＜（c-d）2，即为|a-b|＜|c-d|；

②若|a-b|＜|c-d|，则（a-b）2＜（c-d）2，

即有（a+b）2-4ab＜（c+d）2-4cd，

由a+b=c+d，则ab＞cd，

则有（+）2＞（+）2．

综上可得，+＞+是|a-b|＜|c-d|的充要条件．

证明：要证，

只要证，

即证（x+y）2≥4xy，

即证（x-y）2≥0，

而上式显然成立，

并在当且仅当x=y时取等号，

所以原不等式成立．

证明：sin2A+sin2B+sin2C=++

=-[cos2A+cos2B+cos（2A+2B）]

=-[2cos（A+B）cos（A-B）+2cos2（A+B）-1]

=2-[cos2C-cosCcos（A-B）]

=2-[cos2C-cosCcos（A-B）+cos2（A-B）-cos2（A-B）]

=2+cos2（A-B）-[cosC-cos（A-B）]2

≤2+cos2（A-B）=（A=B=C时取等号）．

证明：由x＜2，可得

x3-6x2+12x-1-7

=（x3-8）-（6x2-12x）

=（x-2）（x2+2x+4）-6x（x-2）

=（x-2）（x2-4x+4）=（x-2）3＜0，

则有x＜2时，x3-6x2+12x-1＜7．

证明：由于a+-（b+）=（a-b）+（-）

=（a-b）（1+）=（a-b）•，

因为a＞b＞0⇒ab＞0⇒ab+1＞0且a-b＞0，

所以（a-b）•＞0．

即a+-（b+）＞0．

所以a＞b＞0时，成立．

证明：∵a，b，c均为正数，

∴a2+b2≥2ab，

a2+c2≥2ac，

b2+c2≥2bc，

以上三式累加得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+ac+bc），

∴a2+b2+c2≥ab+ac+bc；①

又a+b+c=1，

∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），

∴ab+bc+ca≤（当且仅当a=b=c=时取“=”）．

证明：要证＞-，

只需证（）2＞（-）2，

即a-b＞a+b-2，

只需证b＜，即证b＜a，

显然b＜a成立，

因此＞-成立

证：（a5+b5）-（a2b3+a3b2）=（ a5-a3b2）+（b5-a2b3）

=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）

=（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）

∵a，b都是正数，∴a+b，a2+ab+b2＞0

又∵a≠b，∴（a-b）2＞0∴（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）＞0

即：a5+b5＞a2b3+a3b2．