热门试卷

证明：令，

则f‘（x）=ex-1-x，

再令g（x）=f'（x），则g'（x）=ex-1，

∵x＞0，∴ex-1＞0，即g'（x）＞0，

∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，

由于x＞0，则g（x）＞g（0）=e0-1=0，即f'（x）＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，

由x＞0知，，

即ex-（1+x+x2）＞0，

∴ex＞1+x+x2，得证．

证明：（ac+bd）（ad+bc）=（a2+b2）cd+ab（c2+d2）≥（a2+b2）cd+2abcd=（a+b）2cd，

因为a，b，c，d满足a+b=cd=1，

所以（a+b）2cd=1，

所以：（ac+bd）（ad+bc）≥1．

证明：（1）∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）3≥27xyz；  

（2）∵x，y，z∈R+，∴≥=3，≥=3，当且仅当x=y=z时，取等号，

∴两式相乘，可得；

（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3，x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z时，取等号，

∴两式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．

（Ⅰ）证明：∵cos（A+C）+cos（A-C）=cosAcosC-sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=2cosAcosC，

两边同时除以2可得．

（Ⅱ）解：在锐角△ABC中，因为A、B、C成等差数列，所以B=60°，A+C=120°．

又=2cosAcosC=cos（A+C）+cos（A-C）=，

==，

∴=，∴．

∵-900＜A-C＜900，A+C=120°，故有 A-C=±30°，，

当A＜C时，A=45°，C=75°，此时=＞，所以＞．

当A＞C时，A=75°，C=45°，=＞1，所以＞，

综合得 ＞．

解：（1）∵直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0垂直，

∴2b+a[-（b-3）]=0，即ab-3a-2b=0，

∴（a-2）（b-3）=6，

∵a、b为正数，∴a＞2，b＞3，

∴2a+3b=2（a-2）+3（b-3）+13

，

当且仅当：2（a-2）=3（b-3），即时，取“=”，

故2a+3b的最小值是25；

（2）∵a、b、c为正数，

∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）

=（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）

≥2•2•2•2

=16abc，

即（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc，

当且仅当：a=b=c=d=1时，取“=”．

证明：令=（x，y，z），=（），

则=x+y+z=a+b+c，

||2=x2+y2+z2，||2=++，

由||2•||2≥||2，

则有（x2+y2+z2）（++）≥（a+b+c）2，

即有++≥．

当且仅当a：b：c=x2：y2：z2，不等式取等号．

证明：∵|m|+|n|≥|m-n|，

∴|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-x+a|=|2a-1|≥2|a|-1，

∵|a|≥1，

∴2|a|-1≥1，

∴|x-1+a|+|x-a|≥1．