热门试卷

证明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）|

x=1时，左式=右式=0，符合题意；

x≠1时，x2+x+1=（x+）2+＞，所以4|x-1||（x2+x+1）|＞|x-1|；

综上，x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．

证明：∵a，b，c∈R+

∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2

∴2a+2b+2c≥2+2+2

∴a+b+c≥++

∵abc=1，

∴a+b+c≥++；

（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，

∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，

∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，

∵ab+bc+ac=≥=++，

∴a2+b2+c2≥++．

证明：设f（x）=ln（1+x2）-x，

则f′（x）=-1=≤0，

可得函数f（x）在R上单调递减．

当x＞0时，f（x）＜f（0），

所以ln（1+x2）-x＜0，即ln（1+x2）＜x．

所以ln（1+）（1+）…（1+）

=ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）

＜++…+＜++…+

=1-+-+…+-=1-＜1，

所以（1+）（1+）…（1+）＜e．

证明：要证＜a，只需证b2-ac＜3a2，

即证b2+a（a+b）＜3a2，即证（a-b）（2a+b）＞0，

即证（a-b）（a-c）＞0．

∵a＞b＞c，∴（a-b）•（a-c）＞0成立．

∴原不等式成立．

证明：（1）当n≥2时，＞=．

∴1+++…+＞1+++…+=1+=-．

∴1+++…+＞-（n≥2）．

（2）当n≥2时，＜=，

∴+++…+＜+++…+=+=．

（3）∵＜，

T=＜×…××=×，∴T＜=＜=-，

∴+++…+＜++…+（-）=-1，

∴+++…+＜-1．

（4）先证明左边：∵=＞=2，

∴1+++…+＞2++…+=2．

证明右边：∵＜=．

∴1+++…+＜[（-1）++…+（-）]=．

综上可得：2（-1）＜1+++…+＜（-1）．

证明：由均值不等式可得＜=

∴2++＜2

∵≤x≤2，∴y=2单调递增，∴2≤8

∴2++＜8．

证明：不妨设a≥b≥c，此时≤≤，

∵a（b+c-a）≤b（c+a-b）≤c（a+b-c），

于是由排序不等式可得：•a（b+c-a）+•b（c+a-b）+•c（a+b-c）≤•a（b+c-a）+•b（c+a-b）+•c（a+b-c）=a+b+c，

∴•a[（b-a）+c]+•b[（c-b）+a]+•c[（a-c）+b]≤a+b+c，

即•a（b-a）+•b（c-b）+•c（a-c）≤0，同乘abc得，

a2b（b-a）+b2c（c-b）+c2a（a-c）≤0，

∴a2b（a-b）+b2c（b-c）+c2a（c-a）≥0，

上式当且仅当==或者a（b+c-a）=b（c+a-b）=c（a+b-c），即a=b=c时取等号．

证法一：（分析法）

为了证明，

只需要证明，…（2分）

∵a＞b＞，c∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0，…（4分）

∴．…（8分）

∴成立．…（10分）

∴＞0成立．…（12分）

证法二：（综合法）

∵a＞b＞c，

∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0．

∴＞0．

∴．

∴＞0．（类比给分）