热门试卷

（Ⅰ）由于()6=8，()6=9，则＞

又()10=32，()10=25，则＞

所以＞＞

（Ⅱ）猜想：当n=1，2时，有nn+1＜（n+1）n ；     当n≥3时，有nn+1＞（n+1）n

证明如下：①当n=1时，不等式可化为：1＜2，显然成立

当n=2时，不等式可化为：23＜32，显然成立

②当n≥3时

设an=(n≥3，n∈N+)，a3==＞1

又==[]n+1=[]n+1＞1

∴an+1＞an，即数列{an}是一个单调递增数列

则an＞an-1＞…＞a3＞1

∴＞1即nn+1＞（n+1）n综上所述，当n=1、2时，有nn+1＜（n+1）n当n≥3时，nn+!＞（n+1）n

（1）（2）证明如下

试题分析：解：（1）由已知可得，对任意的，均有，

又由恒成立，即恒成立．

当时，由上可得．因为，故，故；

当时，恒成立。

的取值范围是．

（2）①因为，故当时，，所以

．因为，所以（当时，不等式也成立）．

②因为，所以

．所以

．

点评：本题难度较大。关于不等式的证明，常用到的方法较多，像放缩法、裂变法、绝对值性质法和基本不等式法等。

见解析

法一：因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得

a2＋b2＋c2≥3(abc)，①

≥3(abc)－，②

所以2≥9(abc)－.

故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.

又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6 ，③

所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．

当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．

法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①

同理≥，②

故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③

所以原不等式成立，

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．

不等式的证明一般可以考虑运用作差法或者是利用分析法来证明。

试题分析：为使所证式有意义，三数中至多有一个为0；据对称性，不妨设，则；

、当时，条件式成为，，，而

，

只要证，，即，也即，此为显然；取等号当且仅当．

、再证，对所有满足的非负实数，皆有

．显然，三数中至多有一个为0，据对称性，

仍设，则，令，为锐角，以为内角，构作，则，于是，且由知，；于是，即是一个非钝角三角形．

下面采用调整法，对于任一个以为最大角的非钝角三角形，固定最大角，将调整为以为顶角的等腰，其中，且设，记，据知，

．今证明，．即

……①．

即要证   ……②

先证  ……③，即证 ，

即 ，此即 ，也即

，即 ，此为显然．

由于在中，，则；而在中，

，因此②式成为

 ……④，

只要证， ……⑤，即证 ，注意③式以及

，只要证，即，也即…⑥

由于最大角满足：，而，则，所以

，故⑥成立，因此⑤得证，由③及⑤得④成立，从而①成立，即，因此本题得证．

点评：主要是考查了不等式的证明，方法比较多，一般是分析法和作差法构造函数法，属于难度题。

见解析

（1）

因为a+b=1,所以，a-1=-b,b-1=-a,故

=,当且仅当a=b时等号成立。

（2）

=

=

当且仅当a=b时等号成立。

证明略

证明：因为，所以有。又，故有。

…………10分

于是有

得证。                                     …………20分

（1）函数的单调减区间为，单调增区间为，函数的最小值为；

（2）.

试题分析：（1）先将代入函数解析式，并将函数的解析式表示为分段函数，然后求出对应定义域上的单调区间，并求出相应的最小值；（2）利用（1）的结论证明，再利用放缩法得到，最后借助同向不等式具备相加性以及累加法得到

.

试题解析：（1） 

当时, 

在区间上是递增的 

当时, 

在区间上是递减的.

故时,的增区间为,减区间为, 

(2) 由(1)可知,当时,有即 

=.