热门试卷

证明略

证法一: (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立:

(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2，

∴当n=k+1时，不等式成立.

综合(1)、(2)得:当n∈N*时，都有1+＜2.

另从k到k+1时的证明还有下列证法:

证法二: 对任意k∈N*，都有:

证法三:设f(n)= 

那么对任意k∈N*都有:

∴f(k+1)＞f(k)

因此，对任意n∈N*都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，

∴

证明略

因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.

,

相加整理得.

当且仅当时等号成立.

【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.

见解析。

本试题主要是考查了不等式的证明，利用均值不等式和消元的思想，表示参数，然后结合a，b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根，得到判别式大于零，得到c的范围。

因为a＋b＝1－c，ab＝＝c2－c，      ………………………3分

所以a，b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根，

则△＝(1－c)2－4(c2－c)＞0，得－＜c＜1，            ………………………5分

而(c－a)(c－b)＝c2－(a＋b)c＋ab＞0，

即c2－(1－c)c＋c2－c＞0，得c＜0，或c＞，       …………………………8分

又因为，所以．所以－＜c＜0，即1＜a＋b＜．  …………10分

见解析。

本试题主要是考查了运用不等式的思想，证明和求解参数x,y,z的取值范围问题。根据已知中，然后消去一个未知数，然后利用韦达定理的思想来求解范围。

证明：显然

是方程的两个实根，

由得，同理可得，

见解析。

本试题主要是考察了不等式的证明，可以运用分析法证明，也可以利用综合法来证明。或者同时运用这两种方法来证明。

分析法是寻找结论成立的充分条件，是执果索因，而综合法是从条件推导得到结论，是由因到果，两者是不同的证明题型的运用。

证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：

即只须证：

由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。

（法二）由对称性，不妨设：,则，

所以：（顺序和）（乱序和）

（顺序和）（乱序和）

将以上两式相加即得：.

（1）见解析（2）见解析

证明：（1）(证法一)记g(x)＝lnx＋－1－ (x－1).则当x>1时，

g′(x)＝＋－<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减.

又g（1）＝0，有g(x)<0，即f(x)< (x－1).

(证法二)

由均值不等式，当x>1时，2<＋.①

令k(x)＝lnx－x＋1，则k（1）＝0，k′(x)＝－1<0，

故k(x)<0，即lnx

由①②得，当x>1时，f(x)< (x－1).

（2）(证法一)记h(x)＝f(x)－，由（1）得

h′(x)＝＋－＝－<－＝.

令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当12－216<0.

因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g（1）＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.

因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h（1）＝0，得h(x)<0.于是当1.

(证法二)记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，

则当1 (x－1)＋(x＋5)－9

＝ [3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x]<

＝ (7x2－32x＋25)<0.

因此h(x)在(1,3)内单调递减，又，所以，即.

证明见解析。

比较两个数大小的基本方法是作差比较，本小题也易于采用作差比较法.

证明：∵　为实数，

∴　．

∴　左边－右边＝

．

∴　得证．

法二：根据柯西不等式，

有．

∴　得证．

法三：∵　为实数，

∴　左边

右边．

∴　得证．

略

（方法一）证明：

因为实数a、b≥0，

所以上式≥0。即有。

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

当时，，从而，得；

当时，，从而，得；

所以。

（1）证明略（2）x2+y2+z2的最小值为

（1）证明 因为（++）2

≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.

所以++≤3.                                     7分

(2)解 因为(12+22+32)(x2+y2+z2)

≥(x+2y+3z)2=36,

即14(x2+y2+z2)≥36,

所以x2+y2+z2的最小值为.                               14分