- 比较法
- 共468题
证明下列不等式：
（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则
（2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，则
正确答案
解：（1）∵
=
=
∴
（2）所证不等式等价于
∵上式显然成立，
∴原不等式成立。
用适当方法证明：已知：a＞0，b＞0，求证：
正确答案
证明：（用综合法）∵a＞0，b＞0，
=(a-b)(
∴
用适当方法证明：已知：a＞0，b＞0，求证：
正确答案
证明：“略”。
已知
正确答案
证明：∵
∴要证
即证：
即证：
即证：
上式显然成立，所以
已知：a，b，c都是正实数，且ab+bc+ca=1．求证：a+b+c≥
正确答案
证明：要证原不等式成立，只需证（a+b+c）2≥3，即证a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，
又ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2≥1，即a2+b2+c2-1≥0，
因为ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2-（ab+bc+ca）≥0，
只需证：2a2+2b2+2c2-2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，而（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0显然成立，
故原不等式成立．
已知a、b、c是不全相等的正数。
求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc。
正确答案
证明：∵b2+c2≥2bc，
∴a（b2+c2）≥2abc，①
同理b（c2+a2）≥2abc，②
c（a2+b2）≥2abc，③
∵a、b、c不全相等，
∴b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，a2+b2≥2ab三式中不能全取 “=”
∴①②③式相加得a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc。
已知m＞0，a，b∈R，求证：
正确答案
证明：因为m＞0，所以1+m＞0，所以要证
即证
即证
即证
故
设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3，…，其中A，B为常数，
(Ⅰ)求A与B的值；
(Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列；
(Ⅲ)证明不等式
正确答案
解：（Ⅰ）由已知，得
由
解得A=-20，B=-8；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以
②-①，得
所以
④-③，得
因为
所以
又因为5n+2≠0，
所以
又
所以数列{an}为等差数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
要证
因为
故只要证
即只要证
因为
所以命题得证。
设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3，…，其中A，B为常数，
(Ⅰ)求A与B的值；
(Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列；
(Ⅲ)证明不等式
正确答案
解：（Ⅰ）由已知，得
由
解得A=-20，B=-8；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以
②-①，得
所以
④-③，得
因为
所以
又因为5n+2≠0，
所以
又
所以数列{an}为等差数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
要证
因为
故只要证
即只要证
因为
所以命题得证。
如图，过曲线C：y=ex上一点P0(0，1)作曲线C的切线l2交x轴于点Q1(x1，0)，又x轴的垂线交曲线C于点P1(x1，y1)，然后再过P1(x1，y1)作曲线C的切线l1交x轴于点Q2(x2，0)，又过Q2作x轴的垂线交曲线C于点P2 (x2，y2)，……，以此类推，过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn+1(xn+1，0)，再过点Qn+1作x轴的垂线交曲线C于点Pn+1(xn+1，yn+1)(n∈N*)，
(1)求x1、x2及数列{xn}的通项公式；
(2)设曲线C与切线ln及直线PQ所围成的图形面积为Sn，求Sn的表达式；
(3)在满足(2)的条件下，若数列{Sn}的前n项和为Tn，求证：
正确答案
(1)解：由y′=ex，设直线ln的斜率为kn，则
∴直线ln的方程为y=x+1，
令y=0，得x1=-1，
∴
∴直线l1的方程为
令y=0，得x2=-2，
一般地，直线ln的方程为
由于点
∴数列{xn}是首项为-1，公差为-1的等差数列，
∴
(2)解：
(3)证明：
∴
要证明
只要证明
即只要证明，
∴不等式
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