热门试卷

证明：要证原不等式成立，只需证，

即，

即，

也即成立，

，

所以原不等式也成立。

证明：要证an<，即证，

也就是证，

当n=1时，，显然成立；

当n=2时，2<（1+1）2=4，显然成立；

当n≥3时，

>1+n-1=n，

综合以上情形，故有。

证明：∵a1，a2∈R+且a1•a2=1，

∴（1+a1）（1+a2）=1+a1a2+a1+a2=2+a1+a2≥2+2=4

∴命题成立．

解：（1）由可知

∴

令

则

当时，

①当时，

②当时，

∴；

（2）当时，欲证

只需要证

∵

∴

当时，

综上所述。

（Ⅰ）解：数列为等差数列；

理由如下：

∵对任意n∈N*都有an+bn=1，，

∴，

∴

∴数列是首项为，公差为1的等差数列．

（Ⅱ）证明：∵a1=b1，且a1+b1=1，

∴，

由（Ⅰ）知，

∴，

所证不等式，即，

也即证明，

令（x＞1），则，

再令，则g′（x）=，

当x＞1时，g′（x）＜0，

∴函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，

∴当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即，

∴当x＞1时，，

∴函数在（1，+∞）上单调递减，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴成立。

解：（1）由题意

得

由S2是等比中项知S2≠0

因此S2=-2

由

解得。

（2）由题设条件有

故Sn≠1，an+1≠1且

从而对k≥3有

 ①

因且，由①得ak≥0

要证

由①只要证

即证

即（ak-1-2）2≥0，此式明显成立

因此（k≥3）

最后证

若不然

又因ak≥0，故

即（ak-1）2＜0，矛盾

因此ak+1≤ak（k≥3）。

解：（1）当r=0时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8，

从而猜出数列均为等比数列。

∵，

∴数列均为等比数列，∴。

①∴，

，

∴。

②证明（反证法）：假设存在三项是等差数列，即成立。

因m，n，p均为偶数，设，

∴，即，

∴，

而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾。

（2）∵，

∴，

∴是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴。

又∵，

∴，

∴是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴，

∴

，

∴

，

∵r≥0，

∴，∴。