热门试卷

证明：由1+a+b≥3，①

1+b+c≥3，②

1+c+a≥3，③

①②③，可得（1+a+b）（1+b+c）（1+c+a）≥27，

由a，b，c是互不相等的正数，且abc=1，

则等号取不到，即有（1+a+b）（1+b+c）（1+c+a）＞27．

证明：（1）∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a（b2+c2）≥2abc．

又∵c2+a2≥2ac，b＞0，∴b（c2+a2）≥2abc．

∴a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．

（2）∵和都是正数，

要证

只需证

整理得：

即证：21＜25

∵21＜25显然成立

∴原不等式成立

解：（1）令a=b，得，故．  先证明：

∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），

即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴．

再证明：

∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），

即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴．

（2）存在一个常数M，使得不等式

对任意正数a，b，c，d恒成立．

证明：原不等式即为3n-1＞4（n-1）n，

即3n＞（2n-1）2．

运用数学归纳法证明．

当n=3时，左边为33=27，右边=（2×3-1）2=25，

左边＞右边，成立．

假设n=k（k＞2），不等式即3k＞（2k-1）2．

当n=k+1时，左边=3k+1＞3（2k-1）2．

而3（2k-1）2-（2k+1）2=8k（k-2）+4＞0，

即有n=k+1时，3k+1＞（2（k+1）-1）2．

综上可得，当n＞2时，都有3n＞（2n-1）2．

即有＜（n＞2）成立．

证明：∵a+b+c=1，

∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），

∴a2+b2+c2≥．

证明：（1）要证成立，即证，

即证  ，即证，即证 （n+1）2＞n2+2n，即n2+2n+1＞n2+2n，

即证1＞0，而1＞0 显然成立，所以原命题成立．

（2）证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则△1=4b2-4ac≤0，△2=4c2-4ab≤0，

△3=4a2-4bc≤0．  相加有  a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0，

（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0．①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．

证明：因为18=6×3=[（1+2x）+（3+x）+（2-3x）]（1+1+1），

由柯西不等式可得：

…（7分）

又，

所以．…（10分）

证明：（1）∵a2+b2≥2ab，a2+3≥2a，b2+3≥2b，

将此三式相加得2（a2+b2+3）≥2ab+2（a+b），

∴a2+b2+3≥ab+（a+b）．

（2）要证原不等式成立，只需证（+）2＞（2+）2

即证2．

上式显然成立，∴原不等式成立．

证明：由a+b+c=1，且a，b，c＞0，可得

0＜a，b，c＜1，

且1＜＜，可得＞，

即有＞，

即为＞1+（-1）a，

同理可得＞1+（-1）b，

＞1+（-1）c，

三式相加可得，＞3+（-1）（a+b+c）

=3+-1=2+．

则有＞2+．