复合函数的单调性_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.下列函数中，在区间上为减函数的是

A

B

C

D

正确答案

D

知识点

复合函数的单调性

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设函数，，其中

26.求的单调区间；

27.若存在极值点，且，其中，求证：；

28.设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）递减区间为，递增区间为，.

解析

本题主要考察了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

试题解析：（1）解：由，可得，下面分两种情况讨论：

①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.

②当时，令，解得或.

当变化时，、的变化情况如下表：

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

考查方向

本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点。

解题思路

（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间

易错点

第二问不知如何就参数的范围进行讨论导致失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且.

由题意得，即，

进而，

又，且，

由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，

所以.

解析

本题主要考察了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点，属于拔高题，不容易得分.

考查方向

本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点。

解题思路

（Ⅱ）由题意得即，再由化简可得结论

易错点

第二问不知如何就参数的范围进行讨论导致失分。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：

①当时，，由（1）知在区间上单调递减，

所以在区间上的取值范围为，因此，

所以.

②当时，，

由（1）和（2）知，，

所以在区间上的取值范围为，

所以

③当时，，由（1）和（2）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此

。

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

解析

本题主要考察了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点，属于拔高题，不容易得分.

考查方向

本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点。

解题思路

（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.

易错点

第二问不知如何就参数的范围进行讨论导致失分。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.函数的最大值为(　　　)

A4

B5

C6

D7

正确答案

B

解析

因为，而，所以当时，取最大值5，故选B.

考查方向

正弦函数的性质、二次函数的性质。

解题思路

化三角函数为同角同名三角函数，正确运用诱导公式二倍角公式化简，变为二次函数求最值。

易错点

求解本题易出现的错误是忽略，认为当时，函数取得最大值。

知识点

复合函数的单调性

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20. 已知函数.

（I）当时，求曲线在处的切线方程；

(II)若当时，，求的取值范围.

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析

（I）的定义域为.当时，

，曲线在处的切线方程为

（II）当时，等价于

令，则

，

（i）当，时，，故在上单调递增，因此；

（ii）当时，令得

，

由和得，故当时，，在单调递减，学.科网因此.

综上，的取值范围是

考查方向

导数的几何意义，函数的单调性与极值。

解题思路

（Ⅰ）先求函数的定义域，再求，k=，切点纵坐标，由直线方程得点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.

易错点

用导数构造新函数并用导数继续研究新函数，分类讨论。

知识点

复合函数的单调性

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

Ay=lnx

B

Cy=sinx

Dy=cosx

正确答案

D

解析

选项A：的定义域为（0,+∞），故不具备奇偶性，故A错误；

选项B：是偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；

选项C：是奇函数，故C错；

选项D：是偶函数，

且，，故D项正确.

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.

解题思路

根据偶函数和零点的性质，结合选项，逐一判断。

易错点

对函数的零点的概念掌握不好，不会判断函数有无零点

知识点

复合函数的单调性

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

17．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）.

A

B

C

D

正确答案

D

解析

设直线的倾斜角为，，则直线的倾斜角为，因为，所以，，，

即，因为，所以，

所以或（舍去），所以点的纵坐标为.

考查方向

本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键

解题思路

设直线的倾斜角为，，则，，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于、的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.

易错点

旋转前后的坐标问题

知识点

复合函数的单调性

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.若，且函数在处有极值，若，则t的最大值为（）

A2

B3

C6

D9

正确答案

D

解析

因为，所以，因为在处有极值，，即，，又，所以，所以t的最大值为9.所以选D.

考查方向

函数求导；导函数与函数极值；基本不等式

解题思路

先求导，然后利用函数极值，结合基本不等式求解。

易错点

函数求导错误，想不到是运用基本不等式求解

知识点

复合函数的单调性

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14. 若函数的图像与轴有三个不同的交点，函数有4个零点，则实数的取值范围是．

正确答案

解析

因为函数f(x)是偶函数

所以的图象与x轴有三个不同的交点，则f(0)=0,即

，即即

,当时，函数f(x)只有1个零点，不满足条件，当时，,此时函数f(x)有3个零点，，满足条件，此时所以,由由g（x）=f（x）-b=0得b=f（x），

作出函数f（x）的图象如图：

要使函数g（x）=f（x）-b有4个零点，

则-6＜b＜0，

故答案为：（-6，0）

考查方向

函数的综合性质的应用，根的存在性及根的个数的判断

解题思路

根据函数f（x）是偶函数，结合函数与x轴交点个数得到f（0）=0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．

易错点

作图错误，分类讨论错误

知识点

复合函数的单调性

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6. 函数的部分图象如图所示，则等于（）

A1

B

C

D

正确答案

B

解析

由题可知：A=1，T=π，则w=2，φ=-π/12.所以=。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查三角函数的图像性质

解题思路

利用三角函数的图像性质，即可得到结果。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

易错点

本题易在表示待定系数时发生错误。

知识点

复合函数的单调性

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.已知偶函数在区间上单调递增，则满足不等式的的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

考查方向

本题考试抽象函数的单调性和函数奇偶性的认识.

解题思路

根据偶函数的特点，函数图像关于y轴对称，在y轴的两侧函数的单调性互异性及f(x)=f(-x)转化，求出中x的取值范围。

易错点

对抽象函数的认识有限，对函数的单调性和奇偶性认识不够深刻。

教师点评

通过本题可考察学生对函数奇偶性和单调性综合题的理解，同时考查了分类讨论的思想。

知识点

复合函数的单调性

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