直线的一般式方程
共31题

· 直线的一般式方程

直线的一般式方程
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题型：简答题

简答题 · 10 分

已知矩阵M=的一个特征值是3，求直线x﹣2y﹣3=0在M作用下的新直线方程。

正确答案

见解析。

解析

∵已知矩阵M=的一个特征值是3，∴f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣a）﹣1=0，即（3﹣2）（3﹣a）﹣1=0，

解得a=2，∴M=。

设直线x﹣2y﹣3=0上的任意一点（x，y）在M作用下的对应点为（x′y′，），

则有，整理得，即，代人x﹣2y﹣3=0，整理得4x'﹣5y'﹣9=0，

故所求直线方程为：4x﹣5y﹣9=0。

知识点

直线的一般式方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为。

（1）设，求的取值范围；

（2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：方程的两根在区间和上的几何意义是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组

，即，则在坐标平面

内，点对应的区域如图阴影部分所示

易得图中三点的坐标分别为（4分）

（1）令，则直线经过点时

取得最小值，经过点时取得最大值，即，

又三点的值没有取到，所以（8分）

（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知

可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即（12分）

知识点

二次函数的零点问题其它不等式的解法直线的一般式方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

8．设M是内任一点，且，设的面积分别为x，y，z，且，则在平面直角中坐标系中，以x，y为坐标的点的轨迹图形是（）

正确答案

解析

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知识点

向量在几何中的应用直线的一般式方程

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点

①当为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；

②求证：为定值

正确答案

（1）

所以，椭圆方程：，

准圆方程：

（2）①易知且直线斜率存在，

设直线为

联立

因为椭圆与直线有且只有一个交点，

所以，因此

所以的方程为

②<ⅰ>当的斜率存在时，设点，

设直线

由---（*）

同理，联立和椭圆方程可得：---（**）

由（*）（**）可知，是方程的两个根

，

因此是准圆的直径，所以

<ⅱ>当中有一条斜率不存在时，，此时

所以

解析

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知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

21．如图，圆与轴的正半轴交于点，是圆上的动点，点在轴上的投影是，点满足

（1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点的直线与点的轨迹交于不同的两点、，若，求直线的方程

正确答案

（1）设，

则由题意得轴且M是DP的中点，

所以

又P在圆上，所以，即

，即

轨迹是以与为焦点，

长轴长为4的椭圆。

（2）方法一：当直线的斜率不存在时，

，不满足题意。

设直线方程为，

代入椭圆方程得：

△

设，

则　　　（＊）

由知E是BF中点，

所以　　　　（＊＊）

由（＊）、（＊＊）

解得满足，

所以

即所求直线方程为：

解析

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知识点

向量在几何中的应用直线的一般式方程相关点法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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