- 能量转化与守恒定律
- 共241题
如图所示，倾角θ=30°、宽度L=1m的足够长的“U”形平行光滑金属导轨固定在磁感应强度B=1T，范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下。用平行于轨道的牵引力拉一根质量m=0.2kg、电阻R=1Ω的垂直放在导轨上的金属棒ab，使之由静止开始沿轨道向上运动。牵引力做功的功率恒为6W，当金属棒移动2.8m时，获得稳定速度，在此过程中金属棒产生的热量为5.8J，不计导轨电阻及一切摩擦，取g=10m/s2。求：
（1）金属棒达到最大速度是多大？
（2）金属棒从静止达到最大速度所需的时间多长？
正确答案
解：（1）金属棒沿斜面上升达稳定速度时，设所受的安培力为F安，由平衡条件得：
F=mgsinθ+F安
而F安=BIL=B
又
联立以上三式解得v = 2m/s
（2）由能量转化与守恒定律可得Pt=mgssinθ+
代入数据解得：t=1.5s
如图所示，一条轻质弹簧左端固定在水平桌面上，右端放一个可视为质点的小物块，小物块的质量为m=1.0kg，当弹簧处于原长时，小物块静止于O点，现对小物块施加一个外力，使它缓慢移动，压缩弹簧（压缩量为x=0.1m）至A点，在这一过程中，所用外力与压缩量的关系如图所示．然后释放小物块，让小物块沿桌面运动，已知O点至桌边B点的距离为L=2x．水平桌面的高为h=5.0m，计算时，可用滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力．（g取10m/s2）
求：（1）在压缩弹簧过程中，弹簧存贮的最大弹性势能；
（2）小物块到达桌边B点时速度的大小；
（3）小物块落地点与桌边B的水平距离．
正确答案
（1）从F-x图中看出，小物块与桌面的动摩擦力大小为f=1.0 N，在压缩过程中，摩擦力做功为：Wf=f•x=-0.1 J
由图线与x轴所夹面积（如图），可得外力做功为：
WF=（1+47）×0.1÷2=2.4 J
所以弹簧存贮的弹性势能为：EP=WF-Wf=2.3 J
故弹簧存贮的最大弹性势能为2.3J．
（2）从A点开始到B点的过程中，由于L=2x，
摩擦力做功为W′f=f•3x=0.3 J
对小物块用动能定理有：
EP-
解得：vB=2 m/s
故小物块到达桌边B点时速度的大小为2m/s．
（3）物块从B点开始做平抛运动，所以有：
h=
水平距离s=vBt=2 m
故小物块落地点与桌边B的水平距离为2m．
图（a）所示的装置中，小物块A、B质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑。初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆（A、B间距大于2r）。随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆作水平运动，滑杆的速度-时间图像如图（b）所示。A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞。
（1）求A脱离滑杆时的速度uo，及A与B碰撞过程的机械能损失ΔE。
（2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t1，求ω得取值范围，及t1与ω的关系式。
（3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回道P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep，求ω的取值范围，及Ep与ω的关系式（弹簧始终在弹性限度内）。
正确答案
解：(1)设连杆的水平位移为x，取水平向右的方向为正则：
求导得：
当x=0时，A与连杆分离，此时：
AB相碰由动量守恒得：mv0=2mv ②
AB系统机械能损失△E=
由①②③得：
(2)AB在pq上做匀减速直线运动，加速度为：
由运动学规律公式得AB开始到停止的位移：
s≤1 ⑥
0=v+at1 ⑦
由④⑤⑥⑦得：
(3)AB从p开始到弹簧压缩到最短时过程由能量守恒得：
可得到：
设AB返回时刚好到达P点时速度为0，则此时角速度最大全过程由能量守恒得：
解得：
综合⑧得到角速度的范围为：
如图所示，传送带做水平匀速运动，质量m=l.0kg的小物块轻轻放在传送带上的P点，随传送带运动到A点后被水平抛出。小物块恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑，已知圆弧对应圆心角θ=1060，圆弧半径R=1.0m，B、C为圆弧的两端点，其连线水平，轨道最低点为O，A点距水平面的高度h=0.80 m，小物块离开C点后恰能无碰撞地沿固定斜面向上运动，0.8s后经过D点，物块与斜面间的滑动摩擦因数为μ=1/3（取sin530=0.8，cos530= 0.6）。试求：
（1）小物块离开A点时的水平速度大小v1；
（2）小物块经过O点时，轨道对它的支持力大小FN；（3）斜面上CD间的距离SCD；
（4）已知小物块与传送带间的动摩擦因数为μ2=0.3，传送带的速度为5.0m/s。若传送带通过电动机传动，则由于放上小物块而使得电动机多输出的能量是多少？
正确答案
解：（1）对小物块，由A到B有
在B点
所以v1=3m/s
（2）对小物块，由B到O有：
其中：
在O点：
所以：FN=43N
（3）物块沿斜面上滑：mgsin530十μ1mgcos530=ma1，a1=10m/s2由机械能守恒知：vC=vB=5m/s
小物块由C上升到最高点历时
则小物块由斜面最高点回到D点历时t2=0.8s-0.5s=0.3s
物块沿斜面下滑：mgsin530-μ1mgcos530=ma2， a2=6m/s2
故
即SCD=0. 98m。
（4）小物块在传送带上加速过程：μ2mg=ma3物块由静止开始到3m/s所需时间
此过程中产生的焦耳热为
所以多输出的能量为
水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查，右图为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持1m/s的恒定速度运行，一质量为m=4kg的行李无初速地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，该行李与传送带间的动摩擦因数μ=0.1，AB间的距离l=2m，g取10m/s2。求：
（1）行李被从A运送到B所用时间。
（2）电动机运送该行李需增加的电能为多少？
（3）如果提高传送带的运动速率，行李就能够较快地传送到B处，求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。
正确答案
解：（1）行李轻放在传送带上，开始是静止的，行李受滑动摩擦力而向右运动，
此时行李的加速度为a，由牛顿第二定律得f=μmg=ma，a=μg=1.0m/s2
设行李从速度为零运动至速度为1m/s所用时间为t1，所通过位移为s1，
则：v=at1，t1=
s1=
设行李速度达到1m/s后与皮带保持相对静止，一起运行，所用时间为t2，
则：t2=
设行李被从A运送到B共用时间为t，则t=t1+t2=2.5s。
（2）电动机增加的电能就是物体增加的动能和系统所增加的内能之和。
E=Ek+Q
E=
ΔL=vt1-
故E=
（3）行李从A匀加速运动到B时，传送时间最短，则l=
代入数据得t=2s ，此时传送带对应的运行速率为v′，v′≥atmin=2m/s。
故传送带对应的最小运行速率为2m/s。
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