- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
将方程
正确答案
解析
解：方程
已知点A（1，0），若曲线G上存在四个点B，C，D，E．使△ABC与△ADE都是正三角形，则称曲线G为“双正曲线”．给定下列四条曲线：
①4x+3y2=0；
②4x2+4y2=1；
③x2+2y2=2；
④x2-3y2=3
其中，“双正曲线”的个数是（ ）
正确答案
解析
解：4条曲线都关于x轴对称，过点A（1，0）作倾斜角分别为30°，150°的直线l1，l2，
如图可见，只有曲线3上存在四个点B，C，D，E，使△ABC与△ADE都是正三角形，
故选：B．
把曲线ycosx+2y-1=0先沿x轴向右平移
正确答案
（y+1）sinx+2y+1=0
解析
解：把曲线ycosx+2y-1=0变形为：y=
此函数沿x轴向右平移
对此解析式化简为：（y+1）sinx+2y+1=0．
故答案为：（y+1）sinx+2y+1=0．
（2015秋•丰台区期末）已知定点M（1，0）和直线x=-1上的动点N（-1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．
正确答案
（Ⅰ）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=-1和点M的距离相等．
根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．
设R的轨迹方程为：y2=2px，
所以R的轨迹方程为：y2=4x．…（5分）
（Ⅱ证明：由条件可知
联立
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，-y2）
因为
所以kAP=kAQ，
所以A，P，Q三点共线．…（13分）
解析
（Ⅰ）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=-1和点M的距离相等．
根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．
设R的轨迹方程为：y2=2px，
所以R的轨迹方程为：y2=4x．…（5分）
（Ⅱ证明：由条件可知
联立
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，-y2）
因为
所以kAP=kAQ，
所以A，P，Q三点共线．…（13分）
若椭圆x2+4（y-a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是______．
正确答案
-1≤a≤
解析
解：椭圆x2+4（y-a）2=4与抛物线x2=2y联立可得2y=4-4（y-a）2，
∴2y2-（4a-1）y+2a2-2=0．
∵椭圆x2+4（y-a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，
∴方程2y2-（4a-1）y+2a2-2=0至少有一个非负根．
∴△=（4a-1）2-16（a2-1）=-8a+17≥0，∴a≤
又∵两根皆负时，由韦达定理可得2a2＞2，4a-1＜0，∴a＜-1或a＞1且a＜
∴方程2y2-（4a-1）y+2a2-2=0至少有一个非负根时，-1≤a≤
故答案为：-1≤a≤
（2015秋•徐汇区期末）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．
（1）曲线y2=4x与曲线（x-1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．
正确答案
解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，
∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；
∵曲线（x-1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：
由图可知曲线（x-1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x-1）2+y2=4是“有界曲线”，
其外确界为3，内确界为1；
（2）由已知得：
整理得：（x2+y2+1）2-4x2=a2，
∴
∵y2≥0，∴
∴（x2-1）2≤a2，∴1-a≤x2≤a+1，
则
∵1-a≤x2≤a+1，
∴（a-2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，
即
当0＜a＜1时，2-a
∴
当1≤a≤2时，2-a
∴0
当2＜a≤3时，a-2
∴0
当a＞3时，a-2
∴
解析
解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，
∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；
∵曲线（x-1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：
由图可知曲线（x-1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x-1）2+y2=4是“有界曲线”，
其外确界为3，内确界为1；
（2）由已知得：
整理得：（x2+y2+1）2-4x2=a2，
∴
∵y2≥0，∴
∴（x2-1）2≤a2，∴1-a≤x2≤a+1，
则
∵1-a≤x2≤a+1，
∴（a-2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，
即
当0＜a＜1时，2-a
∴
当1≤a≤2时，2-a
∴0
当2＜a≤3时，a-2
∴0
当a＞3时，a-2
∴
已知方程x2+y2+2x-4=0表示的曲线经过点P（m，1），那么m的值为______．
正确答案
-3或1
解析
解：∵方程x2+y2+2x-4=0表示的曲线经过点P（m，1），
∴m2+1+2m-4=0，
∴m2+2m-3=0，
∴m=-3或1．
故答案为：-3或1．
已知两点M（1，
①x+2y-1=0；
②x2+y2=3；
③
④
在曲线上存在点P满足
正确答案
解析
解：因为M（1，
所以MN的垂直平分线方程为x=-
联立
联立
联立
联立
所以满足曲线上存在点P，使|MP|=|NP|的曲线是①②④．
故选D．
方程
正确答案
解析
解：x＞0，y＞0，方程
x＜0，y＞0，方程
∴方程
故选：D．
已知曲线C的方程为：x=
正确答案
解：曲线C是顶点为（2，0），开口向左的抛物线，
该曲线与Y轴围成图形的面积S=2
解析
解：曲线C是顶点为（2，0），开口向左的抛物线，
该曲线与Y轴围成图形的面积S=2
（2015秋•厦门校级月考）点P在曲线y=-e-x上，点Q在曲线y=lnx上，线段PQ的中点为M，O是坐标原点，则线段OM的长的最小值是______．
正确答案
解析
解：∵曲线y=-e-x与y=lnx，其图象关于y=-x对称，
故线段OM的长的最小值，可转化为点P到直线y=-x的最近距离d
设曲线y=-e-x上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=e-x，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，-1），即b=-1
∴d=
∴线段OM的长的最小值为
故答案为：
（2015秋•保定校级月考）方程y=
正确答案
解析
解：方程
所以方程
故选：D．
已知曲线C：x2+y2=4（x≥0，y≥0），与抛物线x2=y及y2=x的图象分别交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12+y22的值等于（ ）
正确答案
解析
解：∵抛物线x2=y及y2=x的图象关于直线y=x对称，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）两点关于直线y=x对称，
故 x1=y2，x2=y1，B点坐标为（y1，y2），
∵点B在曲线C：x2+y2=4（x≥0，y≥0）上，
∴y12+y22=4．
故选C．
曲线x2+ay+2y+2=0经过点（2，-1），则a=______．
正确答案
4
解析
解：由题意，∵曲线x2+ay+2y+2=0经过点（2，-1），
∴22-a-2+2=0
∴a=4
故答案为4
已知曲线C：y=-x2+x+2关于点M（-1，-2）对称的曲线为Cn，且曲线C与Cn有两个不同的交点A、B，求直线AB的方程．
正确答案
解：设（x，y）为曲线Cn上的任一点，（x，y）关于点M（-1，-2）的对称点为（x0，y0），
则x0=-2-x，y0=-4-y．
依题意，点（x0，y0）在曲线C上，∴-4-y=-（-2-x）2-2-x+2．
化简、整理，得曲线Cn的方程：y=x2+5x；
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-2，x1x2=-1．
∵
两式相减，得：
∴直线AB方程为：y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
解析
解：设（x，y）为曲线Cn上的任一点，（x，y）关于点M（-1，-2）的对称点为（x0，y0），
则x0=-2-x，y0=-4-y．
依题意，点（x0，y0）在曲线C上，∴-4-y=-（-2-x）2-2-x+2．
化简、整理，得曲线Cn的方程：y=x2+5x；
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-2，x1x2=-1．
∵
两式相减，得：
∴直线AB方程为：y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
扫码查看完整答案与解析