- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
已知点M（x，y）到定点F（5，0）的距离和它到定直线l：x=
正确答案
解：由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线：
由题意得c=5，
∴b2=c2-a2=9．
∴双曲线的方程为
解析
解：由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线：
由题意得c=5，
∴b2=c2-a2=9．
∴双曲线的方程为
椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=
正确答案
解：（1）由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，
即
∴
又c=1，∴b2=a2-c2=1．…（4分）
故椭圆C的方程为
（2）联立方程组
消去y得，2x2+2x-1=0且△=22-4×2×（-1）＞0，…8 分
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知x1+x2=-1，
由弦长公式可得
解析
解：（1）由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，
即
∴
又c=1，∴b2=a2-c2=1．…（4分）
故椭圆C的方程为
（2）联立方程组
消去y得，2x2+2x-1=0且△=22-4×2×（-1）＞0，…8 分
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知x1+x2=-1，
由弦长公式可得
（2015秋•天水校级期末）已知抛物线y2=4x的准线与双曲线
正确答案
解析
解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，
所以点（-1，2）在双曲线上，得
即
∵0＜a＜1，∴e2＞5，
故
故答案为：
直线y=x+b与双曲线2x2-y2=1相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求实数b的值．
正确答案
解：联立
∵直线y=x+b与双曲线2x2-y=1相交于A，B两点，
由△=（-2b）2+4（1+b2）=4+8b2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
则x1+x2=2b，x1x2=-1-b2．
所以y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2
=-1-b2+3b2=2b2-1，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
即为
所以x1x2+y1y2=0．
即-1-b2+2b2-1=0，
解得b=±
所以b的值是±
解析
解：联立
∵直线y=x+b与双曲线2x2-y=1相交于A，B两点，
由△=（-2b）2+4（1+b2）=4+8b2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
则x1+x2=2b，x1x2=-1-b2．
所以y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2
=-1-b2+3b2=2b2-1，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
即为
所以x1x2+y1y2=0．
即-1-b2+2b2-1=0，
解得b=±
所以b的值是±
设F1、F2分别为双曲线C：
正确答案
解析
解：设以F1F2为直径的圆与渐近线y=
根据对称性得N点的坐标为（-x0，-y0），
∴
解得M（a，b），N（-a，-b）；
又∵A（-a，0），且∠MAN=120°，
∴由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2-2
化简得7a2=3c2，
∴e=
故答案为：
已知双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，
∴|BF1|=2a，
设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得
∴x=
∴B（
代入双曲线方程，整理可得b=（
则c=
即有e=
故选C．
已知双曲线
正确答案
3
解析
解：设M（x，y），A（x1，y1），B（-x1，-y1），则k1=
∴k1•k2=
∵
∴两式相减可得
∴
∵双曲线的离心率e=2，
∴
∴
∴k1•k2=3
故答案为3．
双曲线C：
正确答案
解析
解：
∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|
∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a
又∵|AF2|-|AF1|=2a，
∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，
∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120°
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-
由此可得双曲线C的离心率e=
故答案为：
已知双曲线y2-
A
B2
C
D
正确答案
解析
解：双曲线y2-
与抛物线y2=mx联立可得x=m2，∴A（m，m
∵S△OAB=9
∴
∴m=3，
∴c2=1+m=4，
∴c=2
∴双曲线的离心率为2．
故选：B．
已知双曲线C：
A
B
C2
D
正确答案
解析
根据题意可得F1（-c，0）、F2（c，0），
双曲线的渐近线为：y=
直线PF2的方程为：y=
直线PF1的方程为：y=-
又点P（x，y）在双曲线上，∴
联立①③，可得x=
联立①②，可得x=
∴
∴a2+a2+b2=2b2-2a2，
∴b2=4a2，
∴e=
故选：D．
已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的双曲线的渐近线夹角为______．
正确答案
解析
解：由题意可得点OA=OB=2，AC=5
设双曲线的标准方程是 
则2a=AC-BC=5-3=2，
所以a=1．
所以b2=c2-a2=4-1=3．
所以双曲线的标准方程：
故双曲线的渐近线的方程为：y=
∴双曲线的渐近线夹角为
故答案为：
已知双曲线
正确答案
解：设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|•d，由双曲线的第二定义知
再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a．②
由①②，解得|PF1|=
∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
∴
利用e=
解得1-
∵e＞1，
∴1＜e≤1+
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．
解析
解：设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|•d，由双曲线的第二定义知
再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a．②
由①②，解得|PF1|=
∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
∴
利用e=
解得1-
∵e＞1，
∴1＜e≤1+
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．
设F1，F2分别是双曲线C：
①|OM|=|ON|=c；
②点N的坐标为（a，b）；
③∠MAN＞90°；
④若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为
⑤若∠MAN=120°，且△AMN的面积为2
正确答案
①③④⑤
解析
交双曲线的某条渐近线于MN两点，
则|OM|=|ON|=c正确；
对于②，令渐近线方程为y=
代入圆x2+y2=c2=a2+b2，解得，M（a，b），N（-a，-b），
则②错误；
对于③，由于A（-a，0），M（a，b），N（-a，-b），
对于④，M（a，b），N（-a，-b）；又∵A（-a，0），且∠MAN=120°，
∴由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2-2
化简得7a2=3c2，∴e=
对于⑤，由④得e=
再由a2+b2=c2，解得，a=
故答案为：①③④⑤．
已知双曲线Γ：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：斜率为
△PF1F2是等腰三角形，即有|PF2|=|F1F2|=2c，
则有P（c+2ccos60°，2csin60°），即为P（2c，
代入双曲线方程
即有
由离心率公式e=
即有4e2-
化简可得4e4-8e2+1=0，解得
e2=1
由e＞1，解得e=
故选：D．
双曲线
Ay=±3x
By=±
Cy=±
Dy=±
正确答案
解析
解：∵双曲线方程为
∴渐近线方程为y=±
即y=
故选D
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