圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

（1）若双曲线经过，求双曲线方程；

（2）若双曲线的焦距是，求双曲线方程．

正确答案

解：（1）∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

∴设双曲线方程为：4x2-9y2=λ（λ≠0）

∵双曲线经过，

∴4×（）2-9×22=λ，得λ=-12，

可得双曲线方程为：4x2-9y2=-12，化为标准形式得：．

（2）①当双曲线焦点在x轴上时，设方程为

∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是，

∴，解之得a=3，b=2．因此双曲线方程为

②当双曲线焦点在y轴上时，设方程为

用类似于①的方法，可解得a=2，b=3．因此双曲线方程为

综上所述，可得双曲线方程为或．

解析

解：（1）∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

∴设双曲线方程为：4x2-9y2=λ（λ≠0）

∵双曲线经过，

∴4×（）2-9×22=λ，得λ=-12，

可得双曲线方程为：4x2-9y2=-12，化为标准形式得：．

（2）①当双曲线焦点在x轴上时，设方程为

∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是，

∴，解之得a=3，b=2．因此双曲线方程为

②当双曲线焦点在y轴上时，设方程为

用类似于①的方法，可解得a=2，b=3．因此双曲线方程为

综上所述，可得双曲线方程为或．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2、A、B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，

以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，

将直线y=x代入圆的方程，可得，

x==a（负的舍去），y=b，

即有M（a，b），又A（-a，0），

由于∠MAB=30°，则直线AM的斜率为k=，

又k=，则3b2=4a2=3（c2-a2），

即有3c2=7a2，

则离心率e=．

故选B．

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题型：单选题

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单选题

椭圆C：+=1（a＞b＞0）和双曲线D：-=1（A＞0，B＞0）有相同的焦点F1、F2，椭圆C和双曲线D在第一象限内的交点为P，且PF2垂直于x轴．设椭圆的离心率为e1，双曲线D的离心率为e2，则e1e2等于（　　）

A1

B

C

D不确定

正确答案

A

解析

解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=m，PF2=n．

∴m+n=2a，m-n=2A，m2=n2+4c2，

∴aA=c2，

∴e1e2==1．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

（2014•兴安盟三模）已知F1（-c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2=c2的一个交点为P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C1的离心率为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

D

解析

解：如图所示，

由题意可得，

又2∠PF1F2=∠PF2F1，∴．

∴|PF2|=c，．

由双曲线的定义可得：|PF1|-|PF2|=2a，

∴，

解得=．

故选D．

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题型：单选题

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单选题

已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D2

正确答案

C

解析

解：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，

由焦距的意义可知F2F1=2c，AF1=c，

由勾股定理可知AF2=c，

由双曲线的定义可知：AF2-AF1=2a，即c-c=2a，

变形可得双曲线的离心率==+1

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

已知点P是双曲线C：左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（　　）

A

B2

C

D

正确答案

A

解析

解：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，

∴ON∥PF1，又ON的斜率为，

∴tan∠PF1F2=，

在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，

根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，∴bt-at=2a，①

在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，②

由①②消去t，得，

又c2=a2+b2，

∴a2=（b-a）2，即b=2a，

∴双曲线的离心率是=，

故选A．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0），右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使△ABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是______．

正确答案

（1，）

解析

解：由题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，

要使该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为正三角形，

则需过右顶点A，且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，

也只需其斜率大于渐近线y=x的斜率．

∴＞，∴b＜a，

即b2＜a2，

即有c2＜a2+a2，

即为c＜a，

即有1＜e＜．

故答案为：（1，）．

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题型：填空题

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填空题

（2015•四川模拟）双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线l的平行线交双曲线C于A，若以A为圆心，2a为半径的圆与l相切，则双曲线C的离心率e的值为______．

正确答案

解析

解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），

渐近线l的方程为y=x，

一条渐近线l的平行线为y=（x-c），

代入双曲线的方程，可得A（，），

由直线和圆相切的条件可得，

=2a，

化简可得，b=2a，

则e===．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（　　）

A2

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵双曲线（a＞）的渐近线方程是

∴由双曲线（a＞）的两条渐近线的夹角为可知，

∴a2=6，c2=8，∴双曲线的离心率为，故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的左焦点为F，上顶点为B．

（1）若直线FB的一个方向向量为（1，），求实数a的值；

（2）若a=，直线l：y=kx-2与椭圆C相交于M、N两点，且•=3，求实数k的值．

正确答案

解：（1）由题意，F（-c，0），B（0，1），

∵直线FB的一个方向向量为（1，），

∴=，

∴c=，

∴a==2；

（2）椭圆C的方程为+y2=1，F（-1，0）

直线l：y=kx-2与椭圆C联立可得（1+2k2）x2-8kx+6=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=

所以y1y2=．

故•=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）==3，

∴3k2-4k-4=0，

∴k=2或-．

解析

解：（1）由题意，F（-c，0），B（0，1），

∵直线FB的一个方向向量为（1，），

∴=，

∴c=，

∴a==2；

（2）椭圆C的方程为+y2=1，F（-1，0）

直线l：y=kx-2与椭圆C联立可得（1+2k2）x2-8kx+6=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=

所以y1y2=．

故•=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）==3，

∴3k2-4k-4=0，

∴k=2或-．

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题型：单选题

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单选题

点P在双曲线C：上，F1、F2是双曲线的焦点，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支上，且|PF1|=m，|PF2|=n，则，

即n2+4n-4=0，n=2，

由双曲线的第二定义可得，∴n=x0-2，

∴x0-2=2-2，

x0=

y0=．

故选：B

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题型：单选题

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单选题

设中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C，离心率为，且过点（5，4），则其焦距为（　　）

A6

B6

C5

D5

正确答案

A

解析

解：由离心率大于1，且e===，

则该圆锥曲线为等轴双曲线，

∴设双曲线方程为x2-y2=m（m≠0），

代入点（5，4）得m=25-16=9．

∴双曲线方程为=1，焦距为2c=6

故选A．

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题型：简答题

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简答题

在双曲线=1的右支上求一点 P，使它到左焦点的距离是它到右准线距离的4倍．

正确答案

解：双曲线=1的a=2，b=2，

则c==4，e==2，右准线方程为x=，即有x=1，

设P（m，n）到右准线距离为d，

根据第二定义，可得P到右焦点的距离为ed，

∵右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的4倍，

∴P到左焦点的距离为4d，

∴4d-ed=2a=4，

∴d===2，即m-1=2，解得m=3，

则n2=12×（-1）=15，即有n=±．

则所求P的坐标为（3，）．

解析

解：双曲线=1的a=2，b=2，

则c==4，e==2，右准线方程为x=，即有x=1，

设P（m，n）到右准线距离为d，

根据第二定义，可得P到右焦点的距离为ed，

∵右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的4倍，

∴P到左焦点的距离为4d，

∴4d-ed=2a=4，

∴d===2，即m-1=2，解得m=3，

则n2=12×（-1）=15，即有n=±．

则所求P的坐标为（3，）．

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题型：填空题

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填空题

已知F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F2关于直线y=x的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意可得点F2（c，0），设它关于直线y=x的对称点M（h，k），

由求得，故点M（，），即M（，）．

再把点M的坐标代入双曲线-=1，化简可得（2a2-c2）2=a2（4a2+c2），求得c2=3a2，可得 =，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的右焦点为F（3，0），且以直线x=1为右准线．求双曲线方程．

正确答案

解：由题意得，c=3且=1．

∴a2=3，∴b2=c2-a2=9-3=6，

又∵焦点在x轴上，

因此，所求的双曲线方程为．

解析

解：由题意得，c=3且=1．

∴a2=3，∴b2=c2-a2=9-3=6，

又∵焦点在x轴上，

因此，所求的双曲线方程为．

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