圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点的椭圆的标准方程；

（2）求与椭圆有共同的焦点并且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程．

正确答案

解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为，则

∵右焦点坐标是（2，0），经过点

∴c2=a2-b2=4，，

解得a2=8，b2=4．

椭圆的标准方程为； …（6分）

（2）椭圆的焦点坐标为（0，±5），

双曲线的渐近线方程为y=±x，

由题意可设双曲线的标准方程为，

则c2=a2+b2=25，=，

解得a2=16，b2=9．双曲线的标准方程为

解析

解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为，则

∵右焦点坐标是（2，0），经过点

∴c2=a2-b2=4，，

解得a2=8，b2=4．

椭圆的标准方程为； …（6分）

（2）椭圆的焦点坐标为（0，±5），

双曲线的渐近线方程为y=±x，

由题意可设双曲线的标准方程为，

则c2=a2+b2=25，=，

解得a2=16，b2=9．双曲线的标准方程为

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题型：填空题

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填空题

过双曲线-=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

（，）

解析

解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜＜3，

∵===，

∴＜e＜，

∴双曲线离心率的取值范围为（，）．

故答案为：（，）．

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题型：填空题

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填空题

已知P为双曲线（a＞0，b＞0）的左支上一点，F1，F2分别是它的左右焦点，直线PF2与圆：x2+y2=a2相切，切点为线段PF2的中点，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意，△PF1F2为直角三角形，PF1⊥PF2，|PF1|=2a，|PF2|=|PF1|+2a=4a，

在直角△PF1F2中，4c2=4a2+16a2，

∴c2=5a2，

∴e=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线x2-=1，试问：是否存在过点A（2，1）的直线与双曲线交于相异两点P、Q．且点A平分线段PQ？

正确答案

解：假设存在这样的直线，点A平分线段PQ．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=4，y1+y2=2，

∵4x12-y12=4，4x22-y22=4，

∴16（x1-x2）-2（y1-y2）=0，

∴kPQ=8，

∴直线的方程为y-1=8（x-2），即8x-y-15=0．

联立双曲线方程，消去y，可得60x2-240x+229=0，

由判别式为2402-4×60×229＞0，

可得存在这样的直线，点A平分线段PQ．

解析

解：假设存在这样的直线，点A平分线段PQ．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=4，y1+y2=2，

∵4x12-y12=4，4x22-y22=4，

∴16（x1-x2）-2（y1-y2）=0，

∴kPQ=8，

∴直线的方程为y-1=8（x-2），即8x-y-15=0．

联立双曲线方程，消去y，可得60x2-240x+229=0，

由判别式为2402-4×60×229＞0，

可得存在这样的直线，点A平分线段PQ．

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题型：单选题

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单选题

若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为（　　）

Ax2-y2=1

By2-x2=1

C

D

正确答案

B

解析

解：∵椭圆的短轴端点坐标为（0，±1），

∴双曲线的顶点为（0，±1），可设方程为y2-

∵双曲线的离心率等于椭圆的离心率的倒数

∴由椭圆的离心率为，得双曲线的离心率e==

解之得b=1，从而双曲线的方程为y2-x2=1

故选：B

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

A

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，

∴以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2=c2，

∵以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），

∴，解得a=3，b=4，

∴双曲线的方程为．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

等轴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2，则三边长分别为|x1|，|x2|，2的三角形中，长度为2的边的对角是（　　）

A锐角

B直角

C钝角

D不能确定

正确答案

C

解析

解：∵等轴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），

∴．

∵方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2．

∴．

设长度为2的边的对角是θ，则cosθ===＜0．

因此θ是钝角．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且，则点M到x轴的距离为______．

正确答案

解析

解：∵点M在双曲线上，∴|||-|||=2a=2，||=2c=2

又∵，∴△MF1F2为直角三角形，

∴=12，∴=4

设点M到x轴的距离为d，

∵，∴MF1⊥MF2，∴=|MF1|•|MF2|=|F1F2|•d

∴d==

故答案为

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题型：填空题

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填空题

若直线与双曲线的交点在实轴上射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率是______．

正确答案

2

解析

解：把（c，0）代入双曲线，可得，

∴y=±，

∵直线与双曲线的交点在实轴上射影恰好为双曲线的焦点，

∴，

∴2e2-3e-2=0，

∵e＞1，∴e=2．

故答案为：2．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使=e，Q点为直线PF1上的一点，且=3，则•的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则由正弦定理可得==2，

∴m=2n，

∵m-n=2，

∴m=4，n=2，

∵=3，

∴||=3，||=1，

△PF1F2中，cos∠PF1F2==，

△QF1F2中，|QF2|==，

∴•==．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

根据下列条件，求双曲线的方程：

（1）离心率为，虚半轴长为2；

（2）与椭圆x2+5y2=5共焦点，且一条渐近线方程为y-x=0．

正确答案

解：（1）离心率为，虚半轴长为2，∴=，b=2，

∴a=，

∴双曲线的方程为=1或=1；

（2）椭圆x2+5y2=5焦点坐标为（±2，0），∴c=2

一条渐近线方程为y-x=0，∴=，

∴a=1，b=，

∴双曲线的方程为．

解析

解：（1）离心率为，虚半轴长为2，∴=，b=2，

∴a=，

∴双曲线的方程为=1或=1；

（2）椭圆x2+5y2=5焦点坐标为（±2，0），∴c=2

一条渐近线方程为y-x=0，∴=，

∴a=1，b=，

∴双曲线的方程为．

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题型：填空题

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填空题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为______．

正确答案

2

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，

∴=，

又离心率e==2，

∴==+≥2=2，

当且仅当b=3，a=，时，取得最小值2．

故答案为：2．

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题型：单选题

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单选题

已知O为平面直角坐标系的原点，F2为双曲线的右焦点，E为OF2的中点，过双曲线左顶点A作两渐近线的平行线分别与y轴交于C、D两点，B为双曲线的右顶点，若四边形ACBD的内切圆经过点E，则双曲线的离心率为（　　）

A2

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意得：直线AD的方程为：AD：y=（x+a），

即：bx-ay+ab=0，

因为直线AD与四边形ACBD的内切圆相切，

故：r=d，即 =⇔a=b，

∴双曲线的离心率为e==．

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是双曲线的右焦点F，且双曲线的右顶点A到点F的距离为1，则p-m=______．

正确答案

1

解析

解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是双曲线的右焦点F，

∴=c①，

又∵双曲线的右顶点A（40）到点F（c0）的距离为1，

∴c-4=1②；

由①②得，c=5，p=10；

又c=，

解得m=9；

∴p-m=10-9=1．

故答案为：1．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为　　）

A

B2

C3

D

正确答案

B

解析

解：设P点的横坐标为x，准线方程为x=，

∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），

根据双曲线的第二定义，可得3e（x-）=e（x+），

且e=，

∴ex=2a

∵x≥a，∴ex≥ea

∴2a≥ea，∴e≤2

∵e＞1，∴1＜e≤2，

则双曲线的离心率的最大值为2．

故选B．

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