圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（1）已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）和椭圆+=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程．

（2）已知点P（6，8）是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若•=0．试求椭圆的方程．

正确答案

解：（1）由椭圆，得a′2=16，b′2=9，c′2=a′2-b′2=7，

∴a′=4，c′=，故椭圆离心率为e1=．

∵双曲线与椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，

∴双曲线的两焦点为F1（-，0），F2（，0），离心率e2=，

∴a=2，b2=c2-a2=7-4=3．

故双曲线的方程为；

（2）∵，

∴-（c+6）（c-6）+64=0，即c=10，

∴F1（-10，0），F2（10，0），

则2a=|PF1|+|PF2|=，

∴a=6，b2=80．

故椭圆方程为．

解析

解：（1）由椭圆，得a′2=16，b′2=9，c′2=a′2-b′2=7，

∴a′=4，c′=，故椭圆离心率为e1=．

∵双曲线与椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，

∴双曲线的两焦点为F1（-，0），F2（，0），离心率e2=，

∴a=2，b2=c2-a2=7-4=3．

故双曲线的方程为；

（2）∵，

∴-（c+6）（c-6）+64=0，即c=10，

∴F1（-10，0），F2（10，0），

则2a=|PF1|+|PF2|=，

∴a=6，b2=80．

故椭圆方程为．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为______．

正确答案

x2-=1

解析

解：∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，

∴=，

∵C的一个焦点到l的距离为1，

∴=1，

∴c=2，

∴a=1，b=，

∴C的方程为x2-=1．

故答案为：x2-=1．

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题型：单选题

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单选题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于（　　）

A

B3

C

D

正确答案

A

解析

解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，

设A（x1，y1），B（-x1，-y1），P（x，y），

则，，

∴k1•k2===2，

∴该双曲线的离心率e==．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设||=m，||=n，由题意得

∵=0，且△F1PF2的面积是9，∴mn=9，得mn=18

∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2

∴（m-n）2=m2+n2-2mn=4c2-36，

结合双曲线定义，得（m-n）2=4a2，

∴4c2-36=4a2，化简整理得c2-a2=9，即b2=9

可得b=3，结合a+b=7得a=4，所以c==5

∴该双曲线的离心率为e==

故选：B

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题型：单选题

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单选题

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过点F，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：抛物线的焦点为（）

双曲线的焦点为（c，0）（其中c2=a2+b2）

所以p=2c

经过两曲线交点的直线垂直于x轴，

所以交点坐标为（）代入抛物线方程得

b2=2ac即c2-2ac-a2=0

解得离心率e=

故选B

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题型：单选题

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单选题

过双曲线的左焦点F作⊙O：x2+y2=a2的两条切线，记切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB=120°，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由题意可得：双曲线的方程为，

所以双曲线的渐近线方程为y=x．

因为若∠ACB=120°，

所以根据图象的特征可得：∠AFO=30°，

所以c=2a，

又因为b2=c2-a2，

所以，

所以双曲线的渐近线方程为．

故选A．

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题型：填空题

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填空题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

2

解析

解：依题意有A（-a，0），B（a，0），渐近线方程分别为l1：y=x，l2：y=-x，

设P（x，y），则

由PB∥l2得=-，因为点P在直线y=x上，于是解得P点坐标为P（，），

因为PA⊥l2，所以•（-）=-1，即•（-）=-1，所以b2=3a2，

因为a2+b2=c2，所以有c2=4a2，即c=2a，得e=2．

故答案为：2．

1

题型：填空题

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填空题

F是双曲线Γ：x2-=1的右焦点，Γ的右支上一点P到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q满足=λ，则λ=______．

正确答案

4

解析

解：设P（m，n），m＞0，

则m2-=1，

双曲线的渐近线方程为y=±2x，

设P到直线y=2x的距离为2，

即有=2，

由于P在直线的下方，

则2m-n=2，

解得m=，n=-，

即P（，-），

设Q（s，-2s），由F（，0），

由于F，P，Q共线，可得

则kFP=kFQ，

即为=，

解得s=，

即有Q（，-），

=（-，-），=（-，-），

由于=λ，

则λ=4．

故答案为：4．

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题型：单选题

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单选题

双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：双曲线：的a=1，b=2，c==

∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==

故选 D

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•滨州期末）若双曲线-=1的焦距为6，则m的值为______．

正确答案

5

解析

解：因为双曲线-=1，所以a=2，b=，

又双曲线的焦距是6，所以6=2 ，

解得m=5．

故答案为：5．

1

题型：单选题

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单选题

（2015秋•重庆月考）如图，过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B，若（+）•=0，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵（+）•=0

∴△ABF2是等腰三角形，

设AF2=m，AF1=x

又AB=AF2，则BF1=m-x=2a，BF2=．

BF2-BF1=2a，即-2a=2a，故a=m，

又m-x=2a，解得x=m，

在△AF1F2中，由勾股定理知，2c==m

所以双曲线的离心率e==

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0）作斜率为的直线交双曲线右支于点P，E为FP的中点，O为坐标原点，且OE⊥FP，则双曲线离心率为（　　）

A+1

B+1

C2

D3

正确答案

B

解析

解：由题意，设右焦点为F′，则

∵E为FP的中点，O为坐标原点，

∴OE∥PF′，

∵OE⊥FP，

∴∠FPF′=90°，

∵斜率为的直线交双曲线右支于点P，

∴PF′=c，PF=c，

∴（-1）c=2a，

∴e===+1．

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线的焦点到其渐近线的距离为______．

正确答案

1

解析

解：∵双曲线的方程为，

∴双曲线的焦点在x轴上，a2=4且b2=1，可得a=2、b=1、c==，

因此，双曲线的焦是（，0），渐近线方程为y=x，即x±2y=0．

∴双曲线的焦点到渐近线的距离d==1．

故答案为：1

1

题型：单选题

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单选题

已知椭圆与双曲线共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为（　　）

A

B

C（0，1）

D

正确答案

A

解析

解：由题意，m+2-n=m+n，∴n=1

又m+2＞n，m＞0，∴m+2＞2

∵

∴

故选A．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=x，抛物线y2=24x的准线经过双曲线C的一个焦点，则双曲线C的离心率为（　　）

A2

B3

C2

D

正确答案

A

解析

解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=-6，

所以由题意知，点F（-6，0）是双曲线的左焦点，

所以a2+b2=c2=36，①

又双曲线的一条渐近线方程是y=x，

所以=，②

由①②解得a2=9，b2=27，

所以双曲线的离心率为==2．

故选A．

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